Как посчитать остывание масла и разгон самосвала, если формулы нет? Меняй шаг метода Эйлера, сравнивай с точным ответом и ищи корень уравнения половинным делением.
Как остывает масло в картере после остановки? Мы знаем только правило: чем горячее масло по сравнению с воздухом, тем быстрее оно остывает. Это скорость изменения, производная. Метод Эйлера делает так: сейчас температура такая-то, скорость остывания такая-то, значит через минуту температура станет меньше на скорость, умноженную на минуту. И так шаг за шагом. Чем мельче шаг, тем точнее ответ, но тем больше вычислений. Другой метод, половинное деление, ищет число, при котором уравнение обращается в ноль, деля отрезок пополам, пока он не станет совсем узким.
Производная превращается в строку «скорость = …», интеграл в цикл с шагом, а решение уравнения в деление отрезка пополам. Числа ниже берутся из опыта.
С какой скоростью меняется?
Это дифференциальное уравнение dT/dt = −k(T − Tв), записанное строкой кода. Чем больше разница с воздухом, тем быстрее остывание. Минус значит, что температура падает.
Как сделать шаг?
Новое значение равно старому плюс скорость, умноженная на шаг. Это и есть метод Эйлера. Он считает скорость постоянной весь шаг, хотя на деле она меняется, отсюда и ошибка.
Где f(v) = 0?
Если на концах отрезка f разного знака, корень внутри. Смотрим знак в середине и оставляем ту половину, где знак меняется. После n делений отрезок сужается в 2ⁿ раз.
Справа программа опыта на Python. Функции шаг_dt(), точность(), точка() и отрезок() это ползунки и график опыта; в обычной программе вместо них стоят число и список, куда складывают результаты. В Python для таких задач есть готовые решатели: scipy.integrate.solve_ivp для уравнений движения и scipy.optimize.brentq для корней. Внутри у них те же идеи, только шаг выбирается сам.
Откуда берется правило Эйлера, разобрано в математике: Метод Эйлера, Производная и Ряд Тейлора (ошибка шага это отброшенный член с dt²). Быстрее половинного деления корень находит Метод Ньютона, а сложение маленьких кусочков по шагам разобрано в теме Численное интегрирование. Силы при разгоне: Законы Ньютона.
Время рейса самосвала по профилю дороги считают шагами по 1 с: сила тяги, сопротивление, новая скорость, новый путь. Так выбирают модель машины под карьер.
Как быстро нагреется масло в гидросистеме экскаватора, сколько ждать прогрева двигателя зимой, когда остынут тормоза на спуске: все это шаги Эйлера или похожие методы.
Метод конечных элементов делит деталь на тысячи кусочков и решает систему уравнений численно. Тема «Метод конечных элементов» показывает это наглядно.
Найти скорость, обороты или давление, при которых баланс сходится, это поиск корня. Половинное деление надежно, если знаешь, где корень точно есть.
Датчик выдает значения с шагом по времени. Скорость из пути, путь из ускорения получают разностями и суммами по шагам, то есть тем же Эйлером.
ПИД-регулятор в машине считает интеграл и производную ошибки шагами по несколько миллисекунд. Слишком крупный шаг делает регулятор неустойчивым, как в опыте.
Остывание масла описано законом Ньютона dT/dt = −k(T − Tв) с постоянным k, точное решение T = Tв + (T₀ − Tв)·e−kt. Самосвал: масса 380 т с грузом, мощность на колесах 1580 кВт, тяга не больше 600 кН по сцеплению, сопротивление качению 3 % и подъем 8 %, воздух 6 · v² Н; точной формулы нет, эталон считается в браузере методом Рунге–Кутты с шагом 0,01 с. График ошибки от шага считается тем же методом Эйлера отдельно на JavaScript по числам из кода, точка текущего шага берется из расчета программы. Половинное деление требует, чтобы на концах отрезка функция имела разные знаки; программа это не проверяет.