Как калькулятор считает синус, если умеет только складывать и умножать? Добавляй слагаемые многочлена по одному и смотри, как растет зона, где он совпадает с функцией.
Синус, экспоненту и логарифм нельзя посчитать одним умножением. А многочлен можно: только сложение и умножение. Поэтому берут точку, где все известно, и строят многочлен с тем же значением, тем же наклоном, тем же изгибом и так далее. Каждое новое слагаемое расширяет зону, где многочлен совпадает с функцией. Так считает калькулятор, и так инженер упрощает формулу до прямой или параболы.
ⓘ Зона точности ищется перебором точек от a влево и вправо, пока ошибка меньше 1% от значения функции. Около нулей синуса и косинуса ошибка сравнивается с 1% от амплитуды, иначе любое отличие в нуле было бы бесконечно большим в процентах.
Первая формула строит многочлен для любой гладкой функции. Вторая дает готовые разложения, которые полезно помнить. Третья говорит, насколько можно доверять приближению. Под каждой формулой числа из опыта.
Как построить многочлен для любой функции?
Первое слагаемое дает верное значение в точке a. Второе добавляет верный наклон, третье верный изгиб. Деление на k! нужно, чтобы k-я производная многочлена в точке a совпала с f⁽ᵏ⁾(a).
Какие разложения нужно помнить?
У синуса только нечетные степени и знаки чередуются: производные синуса в нуле идут 0, 1, 0, −1 по кругу. У экспоненты все производные в нуле равны 1, поэтому коэффициенты просто 1/k!.
Насколько можно доверять приближению?
Ошибка примерно равна первому отброшенному слагаемому. M это наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x, для синуса M = 1. Отсюда правило малых углов: sin θ ≈ θ с ошибкой около θ³/6.
Ищем многочлен P(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + …, который около нуля ведет себя как f. Потребуем, чтобы в нуле совпали значение и все производные. При x = 0 все степени обнуляются, и P(0) = c₀, значит c₀ = f(0). Возьмем производную: P′(x) = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + …, в нуле P′(0) = c₁, значит c₁ = f′(0).
Еще раз: P″(0) = 2c₂, значит c₂ = f″(0)/2. Третья производная дает 3 · 2 · c₃ = 6c₃, отсюда c₃ = f‴(0)/3!. Каждый раз множители накапливаются в факториал. Для eˣ все производные равны eˣ, в нуле это 1, и ряд получается 1 + x + x²/2 + x³/6 + … Если разложение строится не в нуле, а в точке a, вместо x везде пишут (x − a).
Так считают и сам ряд по слагаемым: каждое следующее получается из предыдущего одним умножением. Для eˣ это умножение на x/k, для синуса на −x²/((2k)(2k + 1)). Это быстрее, чем считать степени и факториалы заново.
Уравнение маятника содержит sin θ, и точного решения в простых функциях у него нет. При малых углах sin θ ≈ θ, и получается гармонический осциллятор с периодом T = 2π√(L/g). При 10° ошибка меньше 1%.
Характеристики насоса, гидроклапана или датчика давления нелинейные. Около рабочей точки их заменяют касательной, то есть рядом Тейлора с n = 1. На этом построены расчеты регуляторов и настройка систем управления.
Процессор умеет только складывать и умножать. Угол сначала приводят к малому отрезку, а дальше считают несколько слагаемых ряда или похожего многочлена. Пяти-шести слагаемых хватает для всех цифр на экране.
Если величина считается по формуле f(x), а x измерен с погрешностью Δx, то ошибка результата примерно f′(x) · Δx. Это первый член ряда Тейлора. Так оценивают погрешность расчета нагрузки по показаниям тензодатчика.
Длина вала при нагреве L(1 + αΔT): это тоже первый член разложения. Для шейки вала и подшипника его хватает, а для длинных трубопроводов и рельсов учитывают зазоры и компенсаторы.
Провис троса или ЛЭП описывается цепной линией через гиперболический косинус. При малом провисе ее заменяют параболой: первыми двумя членами ряда. Так считают натяжение канатов экскаватора и проводов ЛЭП карьера.
Ряд Тейлора работает для гладких функций, у которых есть все производные в точке a. Ряды для sin x, cos x и eˣ сходятся при любом x, но при больших x нужно много слагаемых, и на практике аргумент сначала приводят к малому. Ряды для ln(1 + x) и √(1 + x) сходятся только на расстоянии меньше a + 1 от точки разложения, потому что в точке x = −1 у этих функций особенность. Опыт ограничен степенью 12, а расчет идет с обычной точностью компьютера около 16 знаков.