Как найти наклон кривой в одной точке? Сближай две точки графика и смотри, как секущая превращается в касательную, а из наклонов строится новый график.
Счетчик пробега показывает, сколько самосвал проехал. Спидометр показывает, как быстро растут показания счетчика прямо сейчас. Спидометр и есть производная пути по времени. На графике это наклон: где график круто идет вверх, величина растет быстро, где он почти горизонтальный, она почти не меняется.
ⓘ Производная в опыте считается по точной формуле. Наклон секущей считается по двум точкам графика, как это делают с данными измерений.
Определение говорит, что такое производная. Уравнение касательной показывает, как ее использовать для прогноза. Правила позволяют находить производную без пределов. Под каждой формулой числа из опыта.
Насколько круто идет график в точке?
Берем вторую точку на расстоянии h, делим прирост функции на прирост аргумента. Это наклон секущей. Потом уменьшаем h, пока вторая точка почти не сольется с первой.
Где окажется величина чуть позже?
Касательная это прямая, которая проходит через точку графика с наклоном f′(x₀). Рядом с точкой она почти совпадает с графиком, поэтому годится для быстрого прогноза.
Как найти производную без пределов?
Для каждой основной функции производная уже найдена через предел раз и навсегда. Дальше работают правила: показатель степени выносится множителем, а сам показатель уменьшается на единицу.
Наклон прямой легко найти по двум точкам: подъем делим на шаг. У кривой наклон в каждой точке свой, а точка одна. Поэтому берем вторую точку рядом, считаем наклон секущей и сдвигаем вторую точку все ближе к первой.
Для параболы y = x² в точке x = 1 секущие при h = 2; 1; 0,5 имеют наклоны 4; 3; 2,5. По формуле наклон равен 2 + h, и при h, стремящемся к нулю, он стремится к 2. Это и есть производная: (x²)′ = 2x, при x = 1 получаем 2.
Скорость это производная пути по времени, ускорение это производная скорости. Датчик положения на станке или стреле экскаватора дает путь, а контроллер получает из него скорость и ускорение.
Мощность показывает, как быстро совершается работа: P = dA/dt. Ток показывает, как быстро через провод проходит заряд: I = dq/dt. Это производные.
Глубина протектора шины или толщина тормозной накладки уменьшается с пробегом. Производная дает темп износа в мм на 1000 км, а касательная дает прогноз, когда деталь дойдет до предела.
Для подшипника опасен не только высокий уровень вибрации или температуры, но и быстрый рост. Система контроля следит за производной сигнала и подает сигнал раньше, чем уровень станет аварийным.
В вершине графика касательная горизонтальна, f′ = 0. Так находят размеры бака с наименьшим расходом металла, режим двигателя с наибольшей мощностью или скорость с наименьшим расходом топлива.
Дифференциальная часть ПИД-регулятора реагирует на скорость изменения ошибки. Она гасит рывки, когда регулятор давления или температуры начинает перерегулировать.
В опыте функции гладкие, у них в каждой точке есть касательная. У графиков с изломом, например у модуля |x| в нуле, производной в точке излома нет: секущие слева и справа стремятся к разным наклонам. Для реальных измерений производную считают по соседним точкам, как наклон секущей, и выбирают шаг h так, чтобы шум датчика не исказил результат.