Чему равна дробь, если в самой точке получается 0/0? Подводи точки к особому месту слева и справа, сужай коридор ε и подбирай окно δ.
Дробь (x² − 1)/(x − 1) при x = 1 дает 0/0, и сосчитать ее нельзя. Но можно взять x = 0,9, потом 0,99, потом 0,999 и посмотреть, что происходит. Значения идут 1,9, затем 1,99, затем 1,999, а справа 2,1, затем 2,01. Они подходят к 2. Это и есть предел. Так же устроен допуск в цеху: чтобы диаметр вала отличался от нормы не больше чем на ε, станок надо выставить с точностью δ.
ⓘ Подходит ли окно δ, опыт проверяет численно: считает функцию в нескольких сотнях точек окна и ищет самое большое отклонение от L. Наибольшее δ найдено делением отрезка пополам.
Первая формула говорит, что значит «подходит к числу». Вторая проверяет обе стороны точки: предел есть, только если слева и справа ответ один. Третья дает два предела, на которых держится весь анализ. Под каждой формулой числа из опыта.
Как записать «подходит к числу»?
Читается: «предел f от x при x, стремящемся к a, равен L». Это значит: для любого допуска ε > 0 найдется окно δ > 0, что при 0 < |x − a| < δ выполняется |f(x) − L| < ε.
Совпадает ли ответ слева и справа?
Минус у a значит «подходим слева», то есть x < a. Плюс значит «справа», x > a. Если два односторонних предела разные, общего предела нет: у функции в точке скачок.
Какие пределы нужно знать наизусть?
Первый: при малом угле в радианах синус почти равен самому углу. Второй: если рост на 100% разбить на n мелких шагов, итог подходит к числу e ≈ 2,71828, а не растет бесконечно.
Почему sin x / x подходит к 1? Нарисуем единичную окружность и угол x в радианах. Длина дуги равна x. Высота точки на окружности sin x короче дуги, а отрезок касательной tan x длиннее. Значит, sin x < x < tan x. Поделим все на sin x и перевернем дроби: cos x < sin x / x < 1. Когда x → 0, cos x → 1, и дробь зажата между двумя величинами, которые подходят к 1. Деваться ей некуда.
Число e получается из роста по шагам. Пусть величина за период вырастает на 100%. Если начислить рост один раз, итог 2. Если двенадцать раз по 1/12, итог (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613. Чем чаще шаги, тем больше итог, но он не растет бесконечно, а подходит к e ≈ 2,718. Поэтому e появляется везде, где скорость роста пропорциональна самой величине: остывание масла, разряд конденсатора, накопление усталости.
Предел лежит в основе двух соседних тем. Производная это предел наклона секущей при шаге h → 0. Интеграл это предел суммы прямоугольников при n → ∞.
Средняя скорость это путь, деленный на время. Если интервал сжимать к нулю, средняя скорость подходит к мгновенной, которую показывает спидометр самосвала. Это предел, и из него выросла производная.
Масло в редукторе мотор-колеса после пуска греется и подходит к рабочей температуре, но не переходит ее. Это горизонтальная асимптота: предел температуры при t → ∞. По нему проверяют, что охлаждение справляется.
Чтобы диаметр шейки вала был в допуске ±ε, станок надо выставить с точностью δ. Определение предела устроено так же: для каждого допуска на результат есть своя точность на входе.
Расчет рамы или ковша методом конечных элементов повторяют на все более мелкой сетке. Когда ответ перестает меняться, расчет сошелся к пределу. Так же проверяют итерации метода Ньютона.
Напряжение на конденсаторе при зарядке растет как U(1 − e−t/RC) и подходит к напряжению источника U. Через 5RC отличие меньше 1%, и цепь считают заряженной. Так же ведут себя датчики с инерцией.
Многочлен Тейлора и ряд Фурье это суммы, у которых слагаемых становится все больше. Ответ ряда это предел частичных сумм. Так калькулятор и контроллер считают sin x и eˣ по нескольким слагаемым.
Компьютер не умеет делать x бесконечно близким к a: он считает с точностью около 16 значащих цифр. Поэтому опыт проверяет окно δ по конечному набору точек, а при очень малых h дробь вида 0/0 начинает терять точность из-за округления. Для (1 + 1/n)ⁿ расчет идет через логарифм, чтобы не потерять цифры при больших n. В функции со скачком коридор построен вокруг правого предела 1: так видно, что левая сторона в него не попадает ни при каком δ, пока ε меньше 2.