Как найти уровень в цистерне по объему или трение в трубе, если формулы для ответа нет? Проводи касательные шаг за шагом и смотри, как число верных знаков удваивается.
Многие инженерные уравнения нельзя решить формулой: уровень в цистерне по объему, трение в трубе, орбита спутника. Но легко посчитать, сколько не хватает до нуля и как быстро меняется функция. Берем догадку, проводим в ней касательную (это производная) и смотрим, где касательная пересекает ось. Это новая догадка, намного точнее. Обычно хватает четырех-пяти шагов, и ответ верен до последней цифры калькулятора.
ⓘ Точный корень для сравнения найден заранее делением отрезка пополам на 200 шагов. Цистерна горизонтальная, диаметр 2,4 м, длина 7 м, налито 12 м³. Труба: число Рейнольдса 100 000, относительная шероховатость 0,0001.
Первая формула и есть весь метод: одна строка, которую повторяют. Вторая показывает, откуда она взялась. Третья отвечает, когда остановиться и почему сходимость такая быстрая. Под каждой формулой числа из опыта.
Как получить следующее приближение?
Невязку делим на наклон и получаем, насколько сдвинуться. Если f(xₙ) больше нуля и функция растет, шаг идет влево, и наоборот. Чем круче функция, тем короче нужный шаг.
Откуда эта формула?
Рядом с xₙ кривая почти совпадает с касательной. Найти, где прямая пересекает ось, легко: приравняй y к нулю и вырази x. Получится ровно формула шага. Это ряд Тейлора, оборванный после первого слагаемого.
Когда остановиться и почему так быстро?
Останавливаемся, когда шаг стал меньше нужной точности. Рядом с корнем ошибка на следующем шаге пропорциональна квадрату текущей: была 0,01, станет около 0,0001. Число верных знаков удваивается.
Посмотри на рисунок справа. В точке xₙ график поднят над осью на f(xₙ). Касательная спускается к оси с наклоном f′(xₙ), то есть на каждую единицу по x она опускается на f′(xₙ). Чтобы опуститься на всю высоту f(xₙ), нужен шаг f(xₙ)/f′(xₙ). Из прямоугольного треугольника: наклон равен высоте, деленной на основание. Отсюда xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).
Почему ошибка возводится в квадрат? По ряду Тейлора f(x*) = f(xₙ) + f′(xₙ)(x* − xₙ) + f″/2 · (x* − xₙ)² = 0. Метод отбрасывает последнее слагаемое, поэтому ошибка нового шага порядка (x* − xₙ)². Отсюда и правила, когда метод ломается: если f′ около нуля, шаг огромный; если x₀ далеко, касательная плохо похожа на кривую.
Объем жидкости в горизонтальной цистерне через уровень выражается формулой с арккосинусом и корнем, обратной формулы нет. Контроллер топливного склада по заказанному объему находит уровень отсечки методом Ньютона.
Коэффициент трения λ для расчета потерь давления в маслопроводе, водоводе или пульпопроводе дает формула Колбрука. Она неявная: λ стоит с обеих сторон. Метод Ньютона находит его за 3 или 4 шага.
Режим сети карьера, то есть напряжения в узлах при заданных нагрузках, описывается системой нелинейных уравнений. Программы расчета режимов решают ее методом Ньютона, только вместо производной там матрица производных.
Положение спутника на орбите находят из уравнения Кеплера E − e · sin E = M. Его тоже решают касательными. Так навигатор GPS вычисляет, где сейчас каждый спутник, прежде чем найти твою точку.
Если материал течет или конструкция сильно прогибается, жесткость зависит от нагрузки. Программы прочностного расчета рамы и стрелы экскаватора подбирают деформации итерациями Ньютона, пока невязка сил не станет мала.
Квадратный корень, обратное число и деление в процессоре считают итерацией xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2 и похожими. Из таблицы берут грубое начало, а два-три шага Ньютона дают все знаки.
Метод Ньютона требует, чтобы функция была гладкой и производную можно было посчитать. Квадратичная сходимость гарантирована только вблизи простого корня, где f′(x*) не равна нулю. У кратного корня, например у x² в нуле, сходимость становится медленной, линейной. Глобально метод может расходиться или зацикливаться, поэтому в программах его сочетают с более надежным делением отрезка пополам или ограничивают длину шага. В опыте число шагов ограничено 30, а расчет идет с точностью компьютера около 16 знаков, поэтому больше 15 верных знаков не бывает.