Почему новая машина ломается чаще обкатанной, а старая снова чаще? Запусти парк машин, смотри, как гаснут отказавшие, и строй кривую ванны для подшипников, шин и гидронасосов.
Когда откажет конкретный подшипник, сказать нельзя. Но если поставить в работу сотню одинаковых подшипников, доля исправных со временем падает по вполне определенной кривой R(t). Скорость, с которой отказывают еще работающие узлы, называют интенсивностью отказов. У большинства машин она меняется по «кривой ванны»: в начале высокая из-за брака сборки, потом долго низкая и ровная, а к концу ресурса снова растет из-за износа. От того, на каком участке кривой работает узел, зависит, поможет ли плановая замена.
ⓘ Наработка каждого узла до отказа это случайное число по закону Вейбулла: t = η · (−ln u)1/β, где u равномерно от 0 до 1. Отказавшие машины в опыте не ремонтируют. Средняя наработка считается через гамма-функцию: MTBF = η · Γ(1 + 1/β).
Первая формула описывает случайные отказы с постоянной интенсивностью. Вторая добавляет приработку и износ. Третья собирает надежность машины из надежностей узлов. Под каждой формулой числа из опыта.
Сколько узлов доживет до t, если отказы случайные?
Каждый час отказывает одна и та же доля λ еще работающих узлов. Из такого правила получается экспонента. Узел не стареет: проработавший 10 000 часов откажет в следующий час так же вероятно, как новый. Средняя наработка обратна λ.
А если узел прирабатывается или изнашивается?
Закон Вейбулла. Параметр β задает форму, η задает масштаб времени. При β = 1 это снова экспонента с λ = 1/η. При β больше 1 интенсивность h(t) растет со временем: так ведут себя подшипники и шины. При β меньше 1 она падает: так проявляется брак, который отсеивается в первые часы.
Какая надежность у машины из нескольких узлов?
Цепочка работает, только если работают все узлы, поэтому надежности перемножаются, и цепочка всегда хуже самого слабого узла. Резерв отказывает, только если откажут оба узла. Вероятность этого (1 − R)², все остальное машина работает.
Пусть каждый час отказывает четверть еще работающих узлов, λ = 0,25 1/ч. Из 100 узлов через час останется 75, через два часа 75 · 0,75 ≈ 56, через три 42. Каждый час число умножается на одно и то же 0,75. Такое убывание и есть экспонента: доля в строю R = (1 − λ)t, а при малых шагах времени R = e−λt.
В законе Вейбулла доля отказов за час не постоянна, а меняется как h(t). Тогда в показатель экспоненты попадает не λt, а накопленная интенсивность (t/η)β. Средняя наработка это площадь под кривой R(t): для экспоненты она ровно 1/λ.
Если у узла β больше 1, его выгодно менять по наработке, до роста отказов. Если β около 1, плановая замена бесполезна: новый узел откажет так же случайно. Так решают, что ставить в график ТО, а что менять по факту.
Шины изнашиваются, β около 3. По наработкам снятых шин подбирают η и β, по ним прогнозируют, сколько шин понадобится в следующем квартале и в какой момент менять комплект, чтобы не получить порез на линии.
Водоотлив карьера, гидросистема экскаватора, питание подъемной машины: ответственные узлы ставят парой. Формула 1 − (1 − R)² показывает, во сколько раз резерв снижает риск остановки и стоит ли он лишнего насоса.
Двигатель, гидравлика, трансмиссия, электрика: машина стоит, если отказал любой агрегат. Даже если каждый агрегат надежен на 97 %, четыре подряд дают только 0,97⁴ ≈ 88 %. Поэтому коэффициент готовности парка считают по самому слабому звену.
У электронных блоков после приработки отказы почти случайны, β около 1, и надежность считают по λ из справочников. Новые блоки иногда прогоняют на стенде: так отсеивают брак с β меньше 1 до установки на машину.
По наработкам отказавших узлов строят график Вейбулла. Если β заметно меньше 1, отказы ранние, это брак изготовления или монтажа. Такой анализ помогает доказать гарантийный случай.
Узлы в опыте отказывают независимо, все одинаковые, и отказавшие не ремонтируют. В жизни машины чинят, и тогда считают уже коэффициент готовности, где важно и время ремонта. Нагрузка в модели постоянная, а на деле смена режима, температура и пыль сдвигают η. Резервный узел работает все время вместе с основным, поэтому изнашивается так же. Холодный резерв, который включается только при отказе, надежнее. Кривая ванны на рисунке нарисована схематично: закон Вейбулла с одним β описывает только один ее участок.