Как найти π, площадь детали сложной формы или надежность схемы, просто бросая случайные точки? Смотри, как точки сыплются в квадрат, а оценка подбирается к точному ответу.
Нужно узнать площадь озера на квадратном участке, но формулы для его берегов нет. Бросим наугад 60 камней на участок и посчитаем, сколько упало в воду. Если в воду попала треть, то и озеро занимает примерно треть участка. Чем больше бросков, тем точнее ответ. Так считают площади сложных сечений, объемы, вероятности отказа сложных схем и все, для чего формулу вывести трудно, а смоделировать один случай легко.
ⓘ Точки берутся из генератора случайных чисел браузера, по два числа на точку. Точная площадь деталей посчитана формулой площади многоугольника минус площади отверстий. Точная надежность схемы посчитана по формулам из темы «Надежность и отказы», симуляция проверяет ее независимо.
Первая формула оценивает π по точкам в круге. Вторая обобщает ее на любую фигуру. Третья говорит, насколько можно доверять ответу и сколько точек нужно. Под каждой формулой числа из опыта.
Как найти π, бросая точки?
Круг радиуса 1 вписан в квадрат 2 на 2. Площадь круга π, квадрата 4, поэтому в круг попадает доля π/4 всех точек. Считаем долю k/N и умножаем на 4. Точка внутри круга, если x² + y² ≤ 1.
Какая площадь у фигуры сложной формы?
Вписываем фигуру в квадрат или прямоугольник, площадь которого знаем. Для каждой точки нужно только уметь ответить «внутри или снаружи». Это намного проще, чем выводить формулу площади фигуры с вырезами и отверстиями.
Насколько точен ответ?
Каждая точка это бросок монеты, которая падает «внутрь» с вероятностью p. Значит, ошибка доли подчиняется закону больших чисел и падает как 1/√N. Ответ почти всегда, в 95 случаях из 100, лежит в пределах ±2σ от точного.
Случайная точка падает в квадрат равномерно: в любой кусок квадрата она попадает с вероятностью, равной доле его площади. Половина квадрата ловит точку с вероятностью ½, четверть с вероятностью ¼. Значит, фигура с площадью S ловит точку с вероятностью p = S / Sкв.
Дальше работает закон больших чисел: доля попаданий k/N стремится к p. Умножаем ее на Sкв и получаем S. Метод не зависит от формы фигуры, а ошибка не зависит даже от размерности: в объеме, в задаче со 100 случайными узлами, где перебор всех случаев невозможен, ошибка все равно падает как 1/√N.
У самосвала сотни узлов, у каждого свой закон отказа и свой срок ремонта. Формулу для готовности всего парка не вывести, но можно прожить на компьютере 10 000 лет работы парка и посчитать, сколько машин в среднем стоит в ремонте.
Содержание металла между скважинами неизвестно. Геологи строят тысячи равновероятных моделей блока и по ним оценивают не одно число запасов, а разброс: с вероятностью 90 % золота будет не меньше заданного.
Зазор в узле зависит от размеров десяти деталей, у каждой свой допуск. Моделируют сто тысяч сборок со случайными размерами и считают, в какой доле зазор выйдет за пределы. Так проверяют, не слишком ли жесткие или мягкие допуски.
Капитальный ремонт экскаватора из 40 работ, каждая может затянуться. Симуляция дает не одну дату, а вероятность уложиться в план за 14 дней. По ней решают, сколько бригад ставить.
Объем отвала по облаку точек лазерного сканирования, площадь сложного сечения отливки, масса детали из CAD: когда граница задана только проверкой «внутри или снаружи», Монте-Карло дает ответ без сложных формул.
Надежность энергосистемы при случайных отказах линий, прохождение нейтронов через защиту реактора, рассеяние света в фаре: метод и придумали в 1940-х годах для расчета нейтронов, а назвали по городу казино.
Считается, что генератор дает равномерные и независимые случайные числа. Генератор компьютера на самом деле псевдослучайный, но для таких задач его качества хватает с огромным запасом. Ответ Монте-Карло всегда приближенный: он не бывает точным, а только близким с заданной вероятностью. Если доля попаданий очень мала, например фигура занимает 0,1 % квадрата, точек нужно очень много, и квадрат лучше выбирать плотнее к фигуре. В схеме надежности узлы отказывают независимо, а вероятности отказа за смену постоянные.