Как по разбросанным замерам износа шины предсказать день замены? Ставь точки, двигай свою прямую и сравни площадь квадратиков с лучшей прямой.
Замеры никогда не ложатся ровно на линию: мешают ошибки прибора, разные дороги, разная загрузка. Через облако точек можно провести много прямых. Какая лучше? Для каждой прямой считаем, насколько каждая точка промахнулась мимо нее по вертикали. Эти промахи называют остатками. Каждый остаток возводим в квадрат, чтобы минусы не гасили плюсы и большие промахи весили сильнее, и все складываем. Лучшая прямая та, у которой сумма квадратов меньше всех.
ⓘ Замеры созданы на компьютере: настоящая прямая плюс случайный шум с нормальным распределением. Площадь квадратика нарисована в масштабе оси y, поэтому сумма площадей пропорциональна Q. Квадратики у правого края поля разворачиваются влево, чтобы не уходить за рамку.
Первая формула говорит, что именно делаем наименьшим. Вторая дает готовый ответ: наклон и сдвиг лучшей прямой. Третья оценивает, насколько прямая вообще подходит к точкам. Под каждой формулой числа из опыта.
Насколько прямая промахивается?
Для каждого замера берем разницу между измеренным yᵢ и тем, что предсказывает прямая. Возводим в квадрат и складываем по всем точкам. Это и есть общая площадь квадратиков в опыте.
Какие k и b дают наименьшее Q?
Подбирать прямую на глаз не нужно: ответ дают суммы замеров. Посчитай Σx, Σy, Σx² и Σxy, подставь, и получишь наклон. Сдвиг выбирается так, чтобы прямая прошла через среднюю точку облака.
Можно ли верить прямой?
В знаменателе разброс замеров вокруг их среднего, то есть Q для горизонтальной прямой без наклона. В числителе Q лучшей прямой. Если прямая убрала почти весь разброс, дробь мала и R² близок к 1.
Сумма квадратов Q зависит от двух чисел, k и b. Если зафиксировать b и менять k, то Q растет как парабола в обе стороны от лучшего значения: каждое слагаемое (yᵢ − kxᵢ − b)² это квадрат, а сумма парабол снова парабола. У параболы одна низшая точка, и в ней наклон касательной равен нулю.
Поэтому берем производные Q по k и по b и приравниваем их к нулю. Получаются два простых уравнения: k·Σx² + b·Σx = Σxy и k·Σx + b·n = Σy. Решаем их, как обычную систему из двух уравнений, и получаем формулы из второй карточки.
Второе уравнение, если поделить его на n, говорит: ȳ = k·x̄ + b. Лучшая прямая всегда проходит через среднюю точку облака. А из того, что остатки возводятся в квадрат, следует и слабость метода: точка, которая промахнулась в 5 раз сильнее остальных, весит в 25 раз больше. Один выброс может повернуть всю прямую.
Глубину протектора карьерных шин замеряют на каждом ТО. Прямая по замерам дает темп износа в мм на 1000 км и пробег, при котором будет достигнут предел. Шину заказывают заранее, и самосвал не простаивает.
По данным системы мониторинга о загрузке и расходе за смену строят прямую. Наклон дает добавку на тонну груза, сдвиг дает расход порожнего самосвала. Самосвалы, у которых точки сильно выше прямой, отправляют на диагностику.
Датчик давления 4-20 мА поверяют на стенде в нескольких точках. Прямая по МНК дает коэффициенты пересчета тока в бары для контроллера, а остатки показывают, укладывается ли датчик в класс точности.
Если уровень вибрации подшипника мельницы растет, прямая по последним замерам показывает темп роста и дату, когда будет достигнут аварийный порог. Это основа обслуживания по состоянию.
Время ремонта или расход фильтров от моточасов тоже сводят к прямой. Так планируют бюджет ТО на год и проверяют, не уходит ли расход за обычный разброс.
Многие инженерные зависимости не прямые, но их можно сделать прямыми: прологарифмировать, взять 1/x. Потом по МНК находят коэффициенты. Так получают формулы для расхода через водослив или для износа футеровки.
Метод ищет именно прямую. Если зависимость изогнута, прямая будет систематически промахиваться: остатки идут не вразброс, а дугой. Считается, что ошибка есть только в y, а x измерен точно, поэтому остатки берутся по вертикали. Шум у всех точек одинаковый и случайный, без систематического сдвига; о его распределении подробно в теме «Нормальное распределение». Прогноз за пределами замеров, как дата замены шины, верен только если темп износа не изменится. Если в данных есть выбросы, их сначала проверяют и убирают, иначе прямая уйдет в их сторону.