Почему валы одной партии чуть разные и сколько из них уйдет в брак? Меряй детали, строй гистограмму и смотри, как она превращается в колокол.
Станок точит валы одного размера, но каждый вал выходит чуть другим: резец немного изнашивается, заготовка греется, вибрирует шпиндель. Каждая причина сдвигает размер на сотые доли миллиметра то в плюс, то в минус. Большинство деталей оказывается около среднего, а сильно отличающихся мало. Если нарисовать, сколько деталей попало в каждый узкий интервал размеров, получится колокол. Его центр это среднее μ, а ширина задается разбросом σ.
ⓘ Размер каждого вала это случайное число, полученное методом Бокса-Мюллера из двух равномерных случайных чисел. Доля брака по теории считается через функцию ошибок erf, для нее взято приближение с точностью около 10⁻⁷.
Первая формула описывает форму колокола. Вторая переводит любой размер в «сколько сигм от среднего». Третья по этим сигмам дает долю брака и оценку станка. Под каждой формулой числа из опыта.
Как часто встречается размер x?
(x − μ) это отход от среднего. Он возводится в квадрат, поэтому отход в плюс и в минус дает одно и то же: колокол симметричен. Деление на 2σ² задает ширину. Экспонента с минусом быстро падает к нулю, поэтому дальние размеры редки. Множитель 1/(σ√(2π)) делает площадь под кривой равной единице.
На сколько сигм граница отстоит от среднего?
Стандартизация убирает миллиметры: z показывает отход в сигмах. После нее любой колокол становится одним и тем же, с центром 0 и шириной 1, и одна таблица годится для любых деталей.
Сколько брака и хорош ли станок?
Φ(z) это доля деталей левее z, площадь под колоколом. Слева от нижней границы брак Φ(zн), справа от верхней 1 − Φ(zв). Cpk показывает, сколько раз по 3σ помещается от среднего до ближней границы. Cpk ≥ 1,33 считают хорошим процессом.
Доска Гальтона: шарик падает сквозь ряды штырей и на каждом отскакивает влево или вправо с равной вероятностью. Чтобы попасть в крайнюю ячейку, нужно 8 раз подряд отскочить в одну сторону, это случается 1 раз из 256. В среднюю ячейку ведет 70 разных путей из 256, поэтому туда попадает больше всего шариков. Размер вала устроен так же: каждая мелкая причина сдвигает его чуть влево или вправо, и сумма многих таких сдвигов дает колокол. Это утверждение называется центральной предельной теоремой.
По измерениям μ и σ оценивают так: среднее равно сумме размеров, деленной на их число. Разброс равен корню из среднего квадрата отходов. Делят на N − 1, а не на N, потому что одна степень свободы ушла на расчет среднего.
Технолог выбирает станок и режим так, чтобы μ ± 3σ поместилось в поле допуска. Тогда вал войдет в подшипник с нужным натягом, а брака почти не будет. Cpk для ответственных размеров требуют не ниже 1,33.
Из партии втулок или пальцев гусеницы меряют выборку, считают x̄ и s и по ним прогнозируют долю негодных во всей партии. Так решают, принимать поставку или возвращать ее поставщику.
Шины карьерных самосвалов одной модели служат разное число моточасов. Зная среднее и σ ресурса, планируют замену с запасом и считают, сколько шин держать на складе, чтобы не простаивать.
Повторные замеры одного и того же размера тоже дают колокол. Его σ это случайная погрешность прибора, а сдвиг μ от эталона показывает, что прибор надо откалибровать.
Предел текучести стали в разных плавках разный. В расчет берут не среднее, а значение на 2 или 3 σ ниже, чтобы почти любая плавка выдержала нагрузку на ковш или раму.
Содержание золота в пробах из одного блока колеблется. По среднему и σ проб оценивают содержание в блоке и вероятность, что оно окажется ниже бортового, а значит руду отправят в отвал.
Считается, что причины разброса мелкие, независимые и ни одна не главная. Если станок постепенно изнашивается во время партии, или в партии смешаны детали с двух станков, гистограмма уже не колокол: она смещается или получает два горба. Хвосты реальных распределений часто толще нормальных, поэтому при очень малом браке, порядка долей на миллион, расчет по формуле дает только оценку. Для ресурса шин и подшипников часто лучше подходит распределение Вейбулла.