bilim.techО проекте

Синус и косинус

Что на самом деле означают sin и cos: крути точку по окружности и смотри, как угол превращается в длины и рисует синусоиду. Каждая буква формулы разобрана отдельно.

Крути точку. Смотри на проекции. РАСЧЕТ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Откуда берется синусоида?

Рис. 05
sin θ cos θТащи точку по окружности
ОСОБЫЕ УГЛЫ
sin θ
cos θ
tg θ = sin θ / cos θ

РАЗБОР ФОРМУЛЫ

Что такое синус и косинус

sin θ = y / rcos θ = x / rsin²θ + cos²θ = 1
θ
Угол между радиусом и осью x, отсчитывается против часовой стрелки. Измеряют в градусах или радианах: полный оборот это 360° или 2π.
r
Гипотенуза, длина отрезка от центра до точки. В технике это длина троса, кривошипа, плеча манипулятора или величина силы.
y
Противолежащий катет, вертикальная проекция: насколько точка поднялась над осью. y = r · sin θ.
x
Прилежащий катет, горизонтальная проекция: насколько точка сместилась вдоль оси. x = r · cos θ.
sin
Синус показывает, какая доля длины r приходится на вертикаль. Это просто число от −1 до 1, без единиц измерения.
cos
Косинус показывает, какая доля длины r приходится на горизонталь. Тоже число от −1 до 1.

Числа из опыта сейчас

Главная идея

Синус и косинус переводят угол в длины. Если известны длина отрезка и его угол, можно сразу сказать, на сколько он тянется по горизонтали и по вертикали. Обратно тоже работает: зная проекции, можно найти угол.

Значения sin и cos зависят только от угла, а не от размера треугольника. Подвигай радиус r: треугольник растет, а sin θ и cos θ остаются прежними. Поэтому их можно один раз посчитать и записать в таблицу или в калькулятор.

Если точка равномерно вращается, ее вертикальная проекция рисует синусоиду. Так выглядит любое повторяющееся движение: колебания, волны, переменный ток.

Где это используют

  • Разложение сил. Груз на наклонной плоскости давит на нее силой m·g·cos α и скатывается под действием m·g·sin α. Так считают тросы крана, натяжение ремня, давление на опоры.
  • Колебания. Маятник отклоняется от вертикали на x = L · sin θ. Посмотри это в опыте «Маятник и колебания».
  • Переменный ток. Напряжение в розетке меняется по синусоиде: u = 311 · sin(2π · 50 · t) вольт. 50 оборотов воображаемой точки в секунду это и есть 50 Гц.
  • Механизмы и роботы. Положение поршня в двигателе, конца стрелы экскаватора или руки робота считают через r · cos θ и r · sin θ для каждого шарнира.
Зачем нужны радианы+

Радиан это угол, при котором длина дуги равна радиусу. Полный круг содержит 2π ≈ 6,28 таких дуг, поэтому 360° = 2π рад, а 1 рад ≈ 57,3°. В радианах формулы становятся проще: длина дуги s = r · θ, скорость точки на окружности v = ω · r, а для малых углов sin θ ≈ θ. Именно поэтому в физике и в программировании (Math.sin в JavaScript, Excel, Python) угол передают в радианах.

ⓘ Масштаб: радиус r = 1 соответствует 140 пикселям на схеме. Угол на графике отложен от 0 до 360°.

Другие опыты