Почему f(x − 2) сдвигает график вправо, а не влево? Четыре числа A, B, C, D сдвигают, растягивают и отражают любой график: смещение нуля датчика, усиление сигнала, сдвиг по фазе.
Если знаешь, как выглядит график x², sin x или |x|, не нужно строить заново графики (x − 3)² − 1 или 2·sin x. Это та же кривая, перенесенная на новое место или растянутая. Четыре числа описывают все такие изменения: два двигают график, два меняют его масштаб. В технике это повседневные операции: смещение нуля датчика, коэффициент усиления, задержка сигнала, инверсия.
ⓘ Ступенька H(x) равна 0 при x меньше нуля и 1 при x от нуля и больше: так выглядит включение реле или подача напряжения. Квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, поэтому у √x график начинается в точке.
Первая формула двигает график. Вторая меняет его масштаб. Третья собирает все вместе и показывает, в каком порядке выполнять действия. Под каждой формулой числа из опыта.
Как сдвинуть график?
D снаружи прибавляется к значению: график поднимается на D. C внутри вычитается из x: то, что у f было при нуле, теперь случится при x = C. Поэтому минус дает сдвиг вправо.
Как растянуть или сжать?
A снаружи умножает высоты: все точки отодвигаются от оси x в A раз. B внутри ускоряет аргумент: f доходит до тех же значений в B раз раньше, и график сжимается к оси y.
Как собрать все вместе?
Действия идут изнутри наружу. Сначала из x вычитаем C, потом умножаем на B, потом считаем f, потом умножаем на A и в конце прибавляем D. Внутренние действия меняют график по x, внешние по y.
Новый график в точке x показывает то, что старый показывал в точке B · (x − C). Чтобы получить старую вершину x² при аргументе 0, нужно B · (x − C) = 0, то есть x = C. Значит, вершина приехала в C. Чтобы получить то, что старый график имел при аргументе 1, нужно x = C + 1/B. Чем больше B, тем ближе эта точка: график сжался.
С внешними числами все прямо: значение f умножили на A и прибавили D, значит, точка графика ушла по вертикали именно так. Проще всего запомнить: внутри скобки меняется x и все действует наоборот, снаружи меняется y и все действует как написано.
Датчик веса на самосвале или датчик уровня в бункере со временем «плывет». Настройка нуля это сдвиг D, настройка диапазона это множитель A. Тарировка по двум грузам находит оба числа.
Усилитель сигнала акселерометра умножает его на A, делитель напряжения на входе контроллера умножает на A меньше 1. Форма сигнала при этом сохраняется, меняется только размах.
Сигналы двух датчиков на одном валу отличаются сдвигом C. По нему находят дисбаланс и место дефекта. В трехфазной сети фазы сдвинуты друг от друга на треть периода.
Вибрация с частотой вращения вала это sin(B·t). Вдвое выше обороты, вдвое больше B, и график сжимается вдвое. По сжатию спектра узнают, какая гармоника принадлежит какому узлу.
Ступенька это команда «включить». Сдвиг C это задержка реле времени, A = −1 и D = 1 превращают нормально открытый контакт в нормально закрытый. Так читают временные диаграммы ПЛК.
Перевод °C в °F, кгс/см² в бар, мА в проценты шкалы это растяжение A и сдвиг D. Один и тот же график в другой системе единиц просто перемасштабирован.
Все четыре преобразования линейны: они сдвигают и масштабируют, но не меняют форму кривой. Настоящие датчики и усилители так работают только в рабочем диапазоне: на краях появляются насыщение и нелинейность, а задержка в реальной системе часто сопровождается сглаживанием фронтов. B в опыте не может быть нулем: f(0 · x) дает постоянную, и график теряет всю форму, поэтому ползунок перескакивает через ноль.