Почему один бросок ничего не говорит, а тысяча говорит почти все? Запусти десятки серий бросков сразу и смотри, как их частоты сходятся к вероятности в сужающемся коридоре.
Брось монету 10 раз, и орлов легко может оказаться 3 или 7. Брось 1000 раз, и их будет почти точно половина: примерно от 470 до 530 в 95 случаях из 100. Каждый бросок случаен, но отклонения в плюс и в минус гасят друг друга. Ошибка уменьшается как 1/√n: в 100 раз больше бросков дают ошибку в 10 раз меньше. Поэтому про одну машину нельзя сказать, когда она сломается, а про парк из сотни машин можно точно сказать, сколько запчастей уйдет за месяц.
ⓘ Каждая серия бросает свою монету с вероятностью p, серии независимы. Коридор показывает p ± 2·√(p(1 − p)/n): по теории в нем держится около 95 % серий. Для монеты p = 0,5 его ширина ровно ±1/√n.
Первая формула говорит, к чему стремится частота. Вторая говорит, как быстро она туда приходит. Третья переворачивает вторую и отвечает, сколько замеров нужно для заданной точности. Под каждой формулой числа из опыта.
К чему стремится частота?
Делим число удачных бросков m на число всех бросков n. Чем больше n, тем меньше эта доля отличается от вероятности p. Это и есть закон больших чисел. Он ничего не обещает про один бросок, только про долю в длинной серии.
Насколько обычно ошибается среднее?
σ это разброс одного броска или одного замера. Среднее по n замерам разбросано в √n раз меньше. Для доли успехов σ = √(p(1 − p)): у монеты это 0,5. В 4 раза больше замеров дают ошибку в 2 раза меньше.
Сколько замеров нужно для точности ±Δ?
Хотим, чтобы коридор 2σ/√n стал не шире Δ. Решаем это неравенство относительно n. Точность растет медленно: чтобы ошибка стала в 2 раза меньше, замеров нужно в 4 раза больше, а для ошибки в 10 раз меньше нужно в 100 раз больше.
Сложим n независимых замеров. Их средние складываются, и сумма в среднем равна n·μ. Разбросы складываются иначе: складываются не σ, а квадраты σ², то есть дисперсии. Сумма n замеров имеет дисперсию n·σ² и стандартное отклонение √n·σ. Отклонения отдельных замеров частично гасят друг друга, поэтому разброс суммы растет медленнее самой суммы.
Среднее это сумма, деленная на n. Значит, его разброс равен √n·σ / n = σ/√n. Сумма растет как n, а ее разброс как √n, поэтому доля разброса падает как 1/√n.
Когда у одного самосвала лопнет рукав гидравлики, предсказать нельзя. Но парк из 60 машин расходует рукава почти ровно: месячный расход отличается от среднего на проценты, а не в разы. Поэтому норму запаса считают по парку, а не по одной машине.
Страховая не знает, кто попадет в аварию, но по тысячам договоров знает долю аварий почти точно. Так же предприятие держит резерв на внеплановый ремонт: по средней частоте отказов за прошлые годы.
Одна проба золотой руды может показать и 1, и 6 г/т. Среднее по 100 пробам ошибается уже в 10 раз меньше, чем одна проба. Число проб на блок выбирают так, чтобы ошибка содержания не превысила заданную.
Проверять все 10 000 болтов долго и дорого. Берут выборку из нескольких сотен и по доле брака в ней судят о партии. Формула n = (2σ/Δ)² говорит, сколько штук нужно, чтобы ошибка доли не превысила, например, 1 %.
Контроллер давления или температуры берет 16 отсчетов и выдает среднее. Случайный шум при этом падает в √16 = 4 раза. Так дешевый датчик дает показания точнее, чем один его замер.
Расход топлива самосвала скачет от рейса к рейсу из-за дороги и загрузки. По одной смене норму не поставить, а по сотне смен среднее устойчиво. На этом строят нормы расхода топлива, масла и шин на моточас.
Закон больших чисел работает, если опыты независимы и условия не меняются. Если монета гнется по ходу опыта, станок изнашивается, а парк машин стареет, частота стремится не к одному числу, а плывет вместе с условиями. Если замеры связаны между собой, например все пробы взяты из одного угла блока, ошибка падает медленнее 1/√n. Систематическая ошибка, например неоткалиброванный прибор, при усреднении не уменьшается совсем. Множитель 2 в коридоре взят из нормального распределения, при малых n и p близкой к 0 или 1 он дает только оценку.