Какова вероятность, что из трех узлов откажет хотя бы один? Бросай монету и кубики, вынимай шары и смотри на диаграмме, как складываются и умножаются вероятности.
Один бросок кубика предсказать нельзя, но можно перечислить все, что может выпасть: шесть граней. Событие это часть этих исходов. «Выпало четное» это грани 2, 4 и 6, три из шести, поэтому вероятность 3/6 = 0,5. Если бросать кубик много раз, четное число выпадет примерно в половине бросков. События можно соединять: «четное и больше 3», «четное или больше 3», «не четное». На схеме это пересечение кругов, их объединение и все, что вне круга.
ⓘ Каждый бросок это случайное число от генератора браузера. Вероятности по теории посчитаны перебором всех исходов: 2 для монеты, 6 для кубика, 36 для двух кубиков, все пары шаров для урны и 8 сочетаний для трех узлов.
Первая формула считает вероятность, когда все исходы равновозможны. Вторая соединяет события через «или» и «и». Третья дает самый частый вопрос надежности: откажет ли хоть что-нибудь. Под каждой формулой числа из опыта.
Какая доля исходов подходит?
Перечисляем все исходы опыта, их n. Считаем, в скольких из них событие наступает, их m. Делим одно на другое. Формула верна, только если все исходы одинаково возможны: монета честная, кубик ровный, шары на ощупь одинаковые.
Как соединить два события?
Если сложить P(A) и P(B), исходы в пересечении кругов посчитаются дважды, поэтому одно пересечение вычитаем. Для «и» берем долю A, а внутри нее долю тех, где наступило и B. Если события независимы, P(B | A) = P(B) и вероятности просто перемножаются.
Откажет ли хотя бы один узел?
Перебирать все случаи «отказал один, два, три» долго. Проще найти обратное: ни один узел не отказал. Каждый работает с вероятностью 1 − q, все k сразу с вероятностью (1 − q)k. Все остальное и есть «хотя бы один отказал».
Два кубика дают 6 · 6 = 36 равновозможных пар: каждой грани первого кубика соответствует любая грань второго. Это правило умножения. Событие A «сумма не меньше 9» занимает 10 клеток таблицы, событие B «есть шестерка» 11 клеток. Если просто сложить 10 + 11, то 7 клеток, которые входят в оба события, посчитаются два раза. Поэтому «A или B» это 10 + 11 − 7 = 14 клеток из 36.
Если бы события были независимыми, «A и B» занимало бы 10/36 · 11/36 ≈ 0,085 таблицы, то есть около 3 клеток. На деле их 7: шестерка сильно помогает набрать 9. Значит, эти события зависимы.
Руда идет через дробилку, три конвейера и грохот. Если откажет любой из пяти узлов, встает вся линия. Даже при 2 % отказов на узел за смену линия встанет с вероятностью 1 − 0,98⁵ ≈ 10 %.
Зумпф карьера откачивают два насоса, каждому хватает мощности одному. Вода зальет забой, только если откажут оба: при 5 % на насос это 0,05² = 0,25 %, в 20 раз реже, чем без резерва.
У карьерного самосвала 6 шин. Если вероятность пореза одной шины за смену 1 %, то хотя бы одна будет порезана с вероятностью 1 − 0,99⁶ ≈ 5,9 %. На парк из 40 машин это 2 или 3 случая каждую смену, под них держат запас и бригаду.
Из ящика с 20 подшипниками, где 2 бракованных, берут 2 штуки и не возвращают. Вероятность, что обе годные, (18/20) · (17/19) ≈ 0,81. Это выемка без возвращения, как шары в урне.
Редуктор собран из 50 деталей, каждая годна с вероятностью 0,999. Весь редуктор без дефектов с вероятностью 0,999⁵⁰ ≈ 0,95. Поэтому на сложные изделия требования к каждой детали жестче.
Подстанция питается по двум независимым линиям. Ответственный потребитель, например подъемная машина шахты, обесточится, только если откажут обе. Так считают категорию надежности электроснабжения.
Считается, что монета и кубики честные, а шары вынимают вслепую, поэтому все исходы равновозможны. Узлы отказывают независимо, с одинаковой вероятностью q. В жизни отказы часто связаны: перегрев, удар или одна партия деталей выводят из строя сразу несколько узлов, и резерв работает хуже, чем дает формула qk. Вероятность за смену здесь задана числом, как она зависит от времени работы, показано в теме «Надежность и отказы».