Любой периодический сигнал складывается из синусоид. Добавляй гармоники одну за другой и смотри, как из плавных волн собирается прямоугольный импульс.
Вибрация вала, ток в сети, звук мотора повторяются с некоторым периодом, но по форме бывают далеко не синусоидой. Оказывается, любую такую форму можно сложить из простых синусоид: одна с основной частотой, другие в 2, 3, 4 и больше раз чаще. У каждой своя высота. Набор этих высот называют спектром: он показывает, сколько каждой гармоники сидит в сигнале.
ⓘ Коэффициенты bₖ для меандра, пилы и треугольника найдены по формуле с интегралом заранее и записаны готовыми выражениями. Сигнал вибрации здесь задан самой суммой гармоник, поэтому ряд для него точный уже при K = 11.
Первая формула говорит, как сигнал собирается из гармоник. Вторая показывает ряд для меандра. Третья объясняет, откуда берется высота каждой гармоники. Под каждой формулой числа из опыта в выбранной точке t.
Из чего состоит сигнал?
Берем синусоиду с частотой сигнала, потом в 2 раза чаще, в 3 раза чаще и так далее. Каждую умножаем на свою амплитуду bₖ и складываем. На практике берут конечное число слагаемых K.
Как сложить прямоугольник из волн?
Меандр прыгает между +1 и −1. В его ряду только нечетные гармоники, а их высота падает как 1/k. Поэтому ряд сходится медленно: острый угол требует очень высоких частот.
Как найти высоту гармоники?
Умножаем сигнал на пробную синусоиду k-й частоты и усредняем за период. Если сигнал похож на эту синусоиду, произведение почти всегда положительно и среднее большое. Если не похож, плюсы и минусы гасят друг друга.
Перемножим две синусоиды разных частот, например sin t и sin 3t, и посмотрим на среднее за период. Произведение то положительное, то отрицательное, и площади плюсов и минусов в точности равны. Среднее равно нулю. А произведение синусоиды самой на себя, sin² t, всегда не меньше нуля, и его среднее равно 1/2.
Поэтому, когда мы умножаем сигнал на sin(kωt) и усредняем, все гармоники с другими номерами дают ноль, и остается только bₖ · 1/2. Отсюда множитель 2 в формуле. Каждую гармонику можно найти отдельно, не зная остальных.
У меандра только нечетные гармоники из-за симметрии: вторая половина периода повторяет первую с обратным знаком. Синусоида четного номера за полпериода делает целое число колебаний и в обеих половинах идет одинаково. Сигнал в половинах противоположный, вклады половин взаимно уничтожаются, и bₖ для четных k равен нулю.
Датчик на подшипниковом узле насоса или конвейера пишет вибрацию, прибор строит спектр. Пик на 1× оборотной частоты говорит о дисбалансе, на 2× о расцентровке валов, пики на своих частотах подшипника о дефекте дорожки или тел качения. Неисправность видна задолго до поломки.
Частотные преобразователи приводов мельниц и насосов потребляют ток не синусоидой, а импульсами. В нем появляются 5-я, 7-я, 11-я гармоники. Они греют трансформаторы и кабели сверх расчета, поэтому их измеряют анализатором и ставят фильтры.
Шумомер раскладывает шум дробилки или компрессора по частотам. По спектру видно, какой узел шумит, и подбирают глушитель или звукоизоляцию под нужную полосу частот, а не наугад.
MP3 и JPEG раскладывают сигнал на гармоники и выбрасывают слабые и высокие, которые глаз и ухо почти не замечают. Остается малая часть коэффициентов, а файл становится в 10 раз меньше.
Нагрузка на раму грохота или фундамент компрессора повторяется с каждым оборотом. Ее раскладывают на гармоники и проверяют, не совпадает ли какая-то из них с собственной частотой конструкции. Совпадение означает резонанс и трещины.
Сигнал датчика давления или тока содержит помеху от сети 50 Гц и ее гармоники. Фильтр пропускает нужные частоты и гасит остальные. Чтобы его рассчитать, надо знать спектр полезного сигнала и помехи.
В опыте все сигналы нечетные: f(−t) = −f(t), поэтому в ряду только синусы. В общем случае к ним добавляются косинусы с коэффициентами aₖ и постоянная составляющая a₀/2, а спектр показывает полную амплитуду √(aₖ² + bₖ²). Сигнал считается строго периодическим и бесконечным. Реальный прибор берет конечный кусок записи и считает спектр быстрым преобразованием Фурье по отсчетам, поэтому частоты в спектре идут с шагом 1/(длительность записи), а частота отсчетов должна быть хотя бы вдвое выше самой высокой гармоники. Выброс около 9% у скачка (эффект Гиббса) не исчезает при любом конечном K, он лишь становится уже.