Вращающаяся стрелка рисует синусоиду. Крути фазоры напряжения и тока, складывай их и смотри, почему три фазы сети в сумме дают ноль, а cos φ решает, сколько мощности идет в дело.
Число eiφ это стрелка длины 1, повернутая на угол φ от оси Re. Пусть угол растет со временем: стрелка крутится, как точка на ободе колеса. Ее тень на вертикальную ось ходит вверх и вниз и рисует синусоиду, тень на горизонтальную рисует косинусоиду. Так переменное напряжение 50 Гц можно представить стрелкой, которая делает 50 оборотов в секунду. Такую стрелку называют фазором. Складывать и сравнивать фазоры намного проще, чем сами синусоиды.
ⓘ Амплитуды даны в долях от амплитуды напряжения, вращение замедлено: в настоящей сети стрелка делает 50 оборотов в секунду. Для расчета мощности взяты действующие значения U = 220 В и ток 10 А при амплитуде 0,8.
Первая формула связывает экспоненту с синусом и косинусом. Вторая записывает переменное напряжение как вращающуюся стрелку. Третья показывает, сколько полезной мощности получается при сдвиге фаз. Под каждой формулой числа из опыта.
Где окажется стрелка, повернутая на φ?
Слева стрелка длины 1 под углом φ. Справа ее координаты: по горизонтали cos φ, по вертикали sin φ. Это та же точка на круге из темы «Синус и косинус», записанная одним числом.
Как записать переменное напряжение?
Стрелка длины Uₘ крутится с частотой ω и стартует с угла φ. Мгновенное напряжение это ее высота. Все стрелки одной сети крутятся вместе, поэтому множитель eiωt можно отбросить и работать с неподвижной стрелкой Uₘ · eiφ.
Сколько мощности идет в дело?
Если ток отстает от напряжения, часть периода они имеют разные знаки и мощность уходит обратно в сеть. Средняя полезная мощность падает в cos φ раз. Провода же греются от полного тока I.
У экспоненты главное свойство: скорость ее роста равна ей самой, (eˣ)′ = eˣ. Для eiφ множитель i выходит наружу: скорость изменения равна i · eiφ. А умножить на i значит повернуть на 90°. Выходит, точка все время движется поперек своего радиуса.
Если скорость всегда поперек радиуса, расстояние до центра не меняется: так движется груз на веревке, которую раскручивают. Значит, точка идет по окружности. Длина скорости равна 1, поэтому за угол φ точка проходит дугу длины φ, то есть поворачивается ровно на φ радиан. Координаты такой точки cos φ и sin φ. Это и есть формула Эйлера.
При φ = π стрелка смотрит влево: eiπ = −1. При φ = 120° и 240° получаются фазы B и C трехфазной сети, и 1 + e−i·120° + e−i·240° = 0: три стрелки по 120° образуют замкнутый треугольник.
Вместо синусоид электрик складывает и умножает стрелки. Напряжение на катушке, резисторе и конденсаторе одной цепи складываются как фазоры, а не как числа на приборах: 3 В и 4 В под углом 90° дают 5 В.
Три катушки статора питаются фазами со сдвигом 120°. Их магнитные поля складываются в одно, которое вращается с частотой сети и тянет за собой ротор. Так работают приводы конвейеров, насосов и мельниц на фабрике.
При равной нагрузке фазоры токов в сумме дают ноль, и нулевой провод почти не нагружен. Если на одну фазу повесить больше, сумма уже не ноль: нулевой провод греется, а напряжение на фазах расходится.
Двигатель, который долго работает вхолостую, тянет из сети большой ток при низком cos φ. Кабели и трансформатор греются зря, энергосбыт выставляет штраф за реактивную энергию. Поэтому ставят конденсаторные установки и не гоняют технику без нагрузки.
Преобразователь частоты для двигателя насоса или вентилятора формирует три фазы с нужной частотой. Внутри он считает нужное напряжение как вращающийся вектор и раскладывает его на фазы через cos и sin.
Дисбаланс ротора дает силу, которая крутится вместе с валом. Датчик видит синусоиду, а балансировщик работает с ее фазором: длина показывает величину дисбаланса, угол показывает, где на роторе ставить груз.
Все сигналы в опыте чистые синусоиды одной частоты, поэтому стрелки крутятся вместе и углы между ними постоянны. В реальной сети есть гармоники, и тогда одного фазора мало: см. тему «Ряд Фурье». Формула P = U · I · cos φ верна только для синусоидального тока. Напряжение сети считается неизменным, а нагрузка линейной: ток пропорционален напряжению. В режиме трех фаз меняется только амплитуда фазы C, углы между фазами остаются по 120°.