Что такое мнимая единица и зачем она инженеру? Тащи стрелки по плоскости и смотри, как сложение складывает их, а умножение поворачивает и растягивает.
Обычные числа лежат на одной прямой. Комплексные числа занимают всю плоскость: у каждого есть сдвиг вправо (действительная часть a) и сдвиг вверх (мнимая часть b). Вверх отсчитывают в единицах i, у которой особое свойство: i · i = −1. Такое число можно задать и иначе, длиной стрелки и углом. Сложение тогда складывает стрелки, а умножение поворачивает и растягивает. Поэтому на комплексных числах так удобно считать все, что вращается: переменный ток, колебания, повороты.
ⓘ Масштаб плоскости подбирается сам, чтобы все стрелки поместились, и не меняется, пока ты тянешь точку. В готовых случаях из электротехники числа в омах, амперах и вольтах; на рисунке мнимая единица записана как i, в учебниках по электротехнике пишут j.
Первая формула задает число и правила действий в форме a + bi. Вторая переводит его в длину и угол. Третья показывает, почему умножение это поворот. Под каждой формулой числа из опыта для выбранного действия.
Как записать и посчитать?
Число из двух частей. Складывают и вычитают части по отдельности. Умножают как обычные скобки, а встретив i · i, заменяют его на −1.
Какой длины стрелка и куда смотрит?
Длину находим по теореме Пифагора: a и b это катеты. Угол находим по отношению катетов, глядя, в какой четверти лежит точка. Обратно: a = r · cos φ, b = r · sin φ, как в теме «Синус и косинус».
Что делает умножение?
Длины перемножаются, углы складываются. При делении длины делятся, углы вычитаются. Умножить на число длины 1 значит просто повернуть.
Умножить на −1 значит развернуть стрелку на 180°: 3 становится −3. Хочется найти число, умножение на которое поворачивает только на 90°. Если повернуть на 90° дважды, получится разворот на 180°, то есть умножение на −1. Значит, у этого числа квадрат равен −1. Его и назвали i.
Проверим на числе 3 + 2i: i · (3 + 2i) = 3i + 2i² = −2 + 3i. Стрелка (3; 2) перешла в (−2; 3), ее длина та же, а угол вырос на 90°. Так и получается правило: при умножении углы складываются, а длины перемножаются.
Формула Эйлера записывает то же самое короче: r · (cos φ + i sin φ) = r · eiφ. Тогда eiφ₁ · eiφ₂ = ei(φ₁ + φ₂), как у обычных степеней. Подробно в теме «Формула Эйлера».
Резистор, катушка и конденсатор задаются одним числом Z = R + jX. Последовательные элементы складываются как комплексные числа, а модуль |Z| и угол φ сразу дают ток и сдвиг фаз. Так считают двигатели конвейеров и насосов.
U = I · Z работает и с комплексными числами: умножение на Z растягивает ток до напряжения и поворачивает на угол φ. Так находят падение напряжения в длинном кабеле до забойного экскаватора.
Двигатели дробилок и мельниц дают индуктивную часть +jX. Батарея конденсаторов добавляет −jX. На комплексной плоскости видно, сколько емкости нужно, чтобы стрелка легла ближе к оси Re и сеть меньше грелась.
Анализатор вибрации выдает каждую гармонику как число с амплитудой и фазой. При балансировке ротора вентилятора или барабана дисбаланс и пробный груз складывают как стрелки и находят, куда и какой груз поставить.
Умножение на число длины 1 поворачивает точку. Так в плоских задачах считают положение конца стрелы, кривошипа или зуба шестерни: один поворот на угол φ вместо формул с синусами для каждой координаты.
Частотная характеристика привода или гидросистемы рисуется на комплексной плоскости. По тому, как кривая обходит точку −1, инженер видит, начнет ли регулятор давления или скорости раскачиваться.
Части чисел в опыте ограничены от −5 до 5 и шагом 0,1, чтобы точки было удобно ставить. Аргумент выводится в диапазоне от −180° до 180°: углы, которые отличаются на 360°, задают одну и ту же точку, поэтому сумма углов при умножении может выйти за этот диапазон, и тогда показан тот же угол без лишнего оборота. У числа 0 аргумент не определен, на рисунке его считают равным 0°. В примерах с катушкой и конденсатором цепь считается идеальной: сопротивление R постоянно, а X не зависит от тока.