Как компьютер решает уравнение, для которого нет формулы? Шагай по касательной, смотри, как копится ошибка, и сравни с методом Рунге-Кутта.
У большинства уравнений, которые встречаются в технике, нет готовой формулы решения. Зато уравнение всегда говорит наклон в любой точке. Встанем в начальную точку, узнаем наклон, пройдем по нему маленький шаг. В новой точке узнаем новый наклон и снова шагнем. Получится ломаная, которая идет почти по решению. Каждый шаг немного промахивается, ошибки копятся, но чем мельче шаг, тем ближе ломаная к кривой. Так считают все программы расчета: от тепловой модели двигателя до симулятора гидросистемы.
ⓘ Ошибка считается как разница с точной формулой решения в конце отрезка. Все четыре задачи выбраны так, чтобы точный ответ был известен. Откуда берется уравнение остывания, показано в теме «Рост и распад».
Одна строка формулы и есть весь метод. Вторая карточка говорит, как быстро он становится точнее. Третья показывает, как получить гораздо больше точности за те же шаги. Под каждой формулой числа из опыта.
Как сделать один шаг?
Новое значение равно старому плюс прирост. Прирост это наклон, умноженный на шаг, как путь равен скорости, умноженной на время. Наклон берем в начале шага и считаем, что на всем шаге он не меняется.
Насколько точен ответ?
На одном шаге касательная промахивается примерно на h², потому что кривая загибается. Шагов на отрезке (b − a) / h. Перемножаем и получаем ошибку в конце порядка h. Это метод первого порядка: шаг вдвое меньше, ошибка вдвое меньше, а работы вдвое больше.
Как точнее при тех же шагах?
Рунге-Кутта 4 на каждом шаге пробует наклон четыре раза: в начале, дважды в середине и в конце, и берет взвешенное среднее. Ошибка становится порядка h⁴: шаг вдвое меньше, ошибка в 16 раз меньше. Метод Хойна проще: среднее двух наклонов, в начале и в конце, ошибка ~ h².
По определению производной при малом h верно y(t + h) ≈ y(t) + h · y′(t). Это уравнение касательной из той же темы. А y′ мы знаем из уравнения: y′ = f(t, y). Подставляем и получаем шаг Эйлера. Точнее, y(t + h) = y(t) + h · y′ + (h² / 2) · y″ + ..., и Эйлер отбрасывает слагаемое с h². Это и есть ошибка одного шага.
Если f зависит только от t, шаг Эйлера это прямоугольник под графиком f, а вся ломаная это сумма левых прямоугольников из темы «Интеграл». Метод Хойна в этом случае превращается в формулу трапеций, а Рунге-Кутта 4 в формулу Симпсона. Их сравнение показано в теме «Численное интегрирование».
Неустойчивость видна на уравнении y′ = −λ · y. Шаг Эйлера дает yₙ₊₁ = (1 − h · λ) · yₙ. Если h · λ > 2, множитель по модулю больше 1, и каждая ошибка на шаге растет с переменой знака. Решение затухает, а ломаная раскачивается. Задачи, где есть очень быстрое затухание рядом с медленным процессом, называют жесткими. Для них берут неявные методы, у которых такого предела нет.
Контроллер насоса или конвейера работает циклами, например каждые 10 мс. Интегральная часть регулятора, счетчик наработки, оценка температуры обмотки двигателя считаются именно шагом Эйлера: новое значение равно старому плюс скорость, умноженная на время цикла.
Реле перегрузки и частотный преобразователь держат внутри тепловую модель обмотки: dT/dt зависит от квадрата тока и от разницы с воздухом. Модель обновляется каждый цикл по Эйлеру. Шаг мал по сравнению с τ двигателя в минуты, поэтому метод надежен.
Программы моделирования гидравлики экскаватора или тормозной системы самосвала решают сотни уравнений сразу. В них работают методы Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага: где процесс быстрый, шаг уменьшается, где медленный, растет.
Скорость износа футеровки мельницы или ковша зависит от текущей толщины и режима работы. Прогноз остаточного ресурса строят шагами по сменам или по суткам: из текущей толщины и темпа износа получают толщину на завтра.
В схеме преобразователя есть процессы с τ в микросекунды и в секунды одновременно. Явный Эйлер потребует шаг меньше самой быстрой τ, и расчет секунды работы займет миллионы шагов. Поэтому в программах расчета схем используют неявные методы.
Блок инерциальной навигации на буровом станке или самосвале интегрирует ускорение и угловую скорость шагами. Ошибка копится, как в опыте, поэтому положение регулярно поправляют по спутниковой навигации.
Шаг постоянный на всем отрезке, вычисления идут с двойной точностью, около 16 значащих цифр. Поэтому у Рунге-Кутта 4 при очень мелком шаге ошибка перестает падать: начинает мешать округление. Порядок ошибки h, h², h⁴ проявляется, когда шаг достаточно мал по сравнению с характерным временем задачи. Для жесткой задачи предел устойчивости 2 / λ точный только для линейного уравнения; для нелинейных он оценочный. Настоящие программы выбирают шаг сами, сравнивая два метода разного порядка на каждом шаге.