Одно уравнение описывает подвеску самосвала, дверной доводчик и вибрацию фундамента. Меняй массу, жесткость и демпфирование и смотри, как колебания затухают.
Груз на пружине тянут вниз и отпускают. Ньютон не говорит, где груз будет через секунду. Он говорит, какое у груза ускорение при данном отклонении и скорости: пружина тянет к равновесию, амортизатор тормозит. Уравнение m·x″ + c·x′ + k·x = 0 связывает отклонение x с его производными. Решить его значит найти функцию x(t), которая выполняет этот закон в каждый момент. Подвеска самосвала, дверной доводчик и фундамент насоса описываются одним и тем же уравнением, меняются только три числа.
ⓘ График строится по точной формуле решения для каждого из трех режимов, без пошагового счета. Быстрые колебания показаны замедленно, медленные ускоренно: темп указан над графиком.
Первая формула это сам закон движения. Вторая говорит, как часто груз качается без трения. Третья решает, будут ли колебания вообще. Под каждой формулой числа из опыта.
Какой закон управляет грузом?
Это второй закон Ньютона, где все силы перенесены в одну сторону. Каждое слагаемое это сила в ньютонах: инерция груза, вязкое трение в амортизаторе и упругость пружины. В любой момент они уравновешивают друг друга.
Как часто груз качается без трения?
Жесткая пружина возвращает груз быстрее, тяжелый груз разгоняется медленнее. Отсюда собственная частота. Период T = 2π / ω₀ это время одного полного качания, частота f = 1 / T это число качаний в секунду.
Будут колебания или нет?
ζ сравнивает трение с тем, что нужно для возврата без качаний. При ζ < 1 груз качается и затухает: x(t) ≈ x₀ · e−ζω₀t · cos(ωdt), где ωd = ω₀√(1 − ζ²). При ζ = 1 возврат самый быстрый без перехода через ноль. При ζ > 1 груз медленно ползет к равновесию.
На груз действуют две силы. Пружина тянет к равновесию с силой −k·x, амортизатор сопротивляется движению с силой −c·x′. По второму закону Ньютона m·x″ = −k·x − c·x′. Переносим все в левую часть и получаем m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Вес груза в уравнение не входит, если x отсчитывать от положения равновесия на сжатой пружине.
Без трения остается x″ = −(k/m)·x: нужна функция, вторая производная которой равна ей самой со знаком минус, умноженной на число. Так ведут себя синус и косинус: (cos ω₀t)″ = −ω₀²·cos ω₀t. Отсюда ω₀² = k/m, и груз качается по синусоиде.
С трением ищем решение в виде x = ert. Каждая производная просто умножает его на r, и уравнение превращается в квадратное: m·r² + c·r + k = 0. Если дискриминант отрицательный (это ζ < 1), корни комплексные: r = −ζω₀ ± iωd. Действительная часть −ζω₀ дает экспоненту-огибающую, мнимая часть ωd дает синусоиду внутри нее. При ζ > 1 оба корня действительные и отрицательные: две убывающие экспоненты без колебаний.
Карьерный самосвал на разбитой дороге качается на подвеске, а оператор качается на сиденье. Подвеску настраивают на ζ около 0,2 до 0,4: удары гасятся, кузов не раскачивается. Частоту сиденья уводят от 4 до 8 Гц, к которым чувствительно тело человека.
Изношенный амортизатор теряет масло, c падает, и машина после ямы качается несколько раз. Дверной доводчик и газовый упор капота делают с ζ около 1: дверь закрывается быстро и не хлопает.
Насос ставят на резиновые опоры или пружины, чтобы вибрация не шла в раму и здание. Изоляция работает, когда рабочая частота агрегата хотя бы в 1,4 раза выше собственной частоты на опорах, а лучше в 3 раза.
Если частота оборотов вала совпадает с ω₀ фундамента, размах растет во много раз при малом ζ. Поэтому жесткость опор и массу плиты подбирают так, чтобы ω₀ была далеко от рабочих оборотов, а пуск быстро проходил резонанс.
Внутри датчика вибрации стоит маленький груз на упругом элементе. Его собственная частота выше измеряемых, поэтому отклонение груза пропорционально ускорению. По спектру вибрации подшипника или редуктора находят дефект до поломки.
Когда кран резко тормозит поворот или подъем, стрела с грузом продолжает качаться на своей упругости. Время затухания определяет, когда можно точно опускать груз. Плавный разгон и торможение приводов уменьшают начальное отклонение x₀.
Пружина линейная: сила строго пропорциональна отклонению, как в законе Гука. Трение вязкое: сила пропорциональна скорости, как в масляном амортизаторе. Сухое трение, люфты и упоры в модель не входят. Груз движется по одной оси, внешних сил нет, начальная скорость ноль. Настоящая подвеска сложнее: у нее нелинейные пружины, разное сопротивление на сжатие и отбой и несколько масс, но первую оценку частоты и затухания дает именно это уравнение.