Как понять, куда пойдет решение, не решая уравнение? Черточки показывают наклон в каждой точке, а щелчок запускает решение, которое послушно идет вдоль них.
Уравнение dy/dx = f(x, y) не дает формулу для y. Оно дает наклон: если решение оказалось в точке (x, y), дальше оно идет с наклоном f(x, y). Посчитаем наклон в сотне точек и нарисуем короткие черточки. Получится картинка, похожая на железные опилки около магнита. Любое решение идет вдоль черточек, как лодка по течению. По картинке сразу видно, куда все стремится, где равновесие и устойчиво ли оно, а формулу решения для этого искать не нужно.
ⓘ Решения строятся методом Рунге-Кутта с мелким шагом, ошибка меньше толщины линии. Как такие методы устроены, показано в теме «Метод Эйлера».
Уравнение задает наклон в каждой точке. Изоклины помогают нарисовать поле от руки. Равновесия и их устойчивость отвечают на главный вопрос: чем все кончится. Под каждой формулой числа из опыта.
Куда идет решение из этой точки?
Подставь координаты точки в правую часть и получишь наклон решения в ней. Это и есть черточка поля. Решение это кривая, которая в каждой своей точке касается черточки.
Как нарисовать поле быстро?
Изоклина, по-гречески «одинаковый наклон», это линия, на которой все черточки параллельны. Нарисуй несколько изоклин для c = −1, 0, 1, 2 и поставь на каждой черточки нужного наклона. Поле готово.
Чем все закончится?
Если наклон зависит только от y, то при f(y*) = 0 решение y = y* стоит на месте. Это равновесие. Посмотри на знак f рядом: если ниже y* наклон положительный, а выше отрицательный, решения со всех сторон сходятся к y*. Равновесие устойчиво.
Производная это наклон касательной, как в теме «Производная». Уравнение dy/dx = f(x, y) говорит: наклон касательной к решению в точке (x, y) равен f(x, y). Значит, касательную можно нарисовать в любой точке плоскости еще до того, как найдено решение. Короткий кусок касательной и есть черточка поля.
Возьмем dy/dx = x − y. На прямой y = x наклон 0, на прямой y = x − 1 наклон 1, на прямой y = x − 2 наклон 2. Каждая изоклина это прямая y = x − c. Изоклина c = 1 особенная: наклон ее черточек 1 совпадает с наклоном самой прямой. Значит, она сама решение, и соседние решения прижимаются к ней. Точный ответ это подтверждает: y = x − 1 + C · e−x, и экспонента со временем гаснет.
Для уравнений вида dy/dt = f(y), где время не входит явно, все еще проще. Изоклины горизонтальны, а для устойчивости хватает знака f выше и ниже равновесия. Так работает уравнение остывания из темы «Рост и распад»: равновесие y = yокр устойчиво.
Приток в зумпф насосной станции постоянный, а расход через сливную трубу растет с уровнем. Скорость изменения уровня dh/dt = Q − k·√h. Равновесие там, где приток равен расходу, и оно устойчиво: уровень сам приходит к нему. Если насос подобран неверно, равновесие оказывается выше края бака.
Тепло от трения растет с температурой, если масло жидеет и зазоры меняются, а теплоотдача растет с разницей с воздухом. Пока теплоотдача сильнее, равновесная температура устойчива. Когда смазка деградирует, равновесие пропадает, и начинается тепловой разгон подшипника.
Скорость двигателя меняется по разнице момента двигателя и момента нагрузки. Рабочая точка конвейера там, где они равны. Если наклон механической характеристики двигателя круче, чем у нагрузки, точка устойчива. Иначе привод при толчке нагрузки опрокидывается и останавливается.
Скорость роста усталостной трещины da/dN растет с ее длиной. Это правая часть без равновесия: решение уходит вверх все круче. Поле показывает главное: после определенной длины трещина растет лавинно, поэтому дефекты в раме самосвала ищут дефектоскопом заранее.
Задача наладчика сделать нужную точку устойчивым равновесием. Поле направлений для ошибки регулирования показывает, сходится ли процесс к уставке, или колеблется вокруг нее, или уходит. Это первый шаг перед подбором коэффициентов регулятора.
Логистическое уравнение описывает рост с пределом: бактерии в эмульсии СОЖ, распространение новой техники по парку, заполнение склада. Поле сразу показывает предел и момент самого быстрого роста: он на половине предела.
Функция f гладкая, поэтому через каждую точку проходит ровно одно решение и решения не пересекаются. Поле дает качественную картину: направление, равновесия, устойчивость. Точные числа дает численный метод, которым здесь и построены кривые. Изоклины в опыте найдены по сетке, у самых краев поля они могут обрываться. В уравнении y′ = y решения при росте быстро уходят за край поля: это не ошибка, а настоящая экспонента.