Почему горячее масло сначала остывает быстро, а потом еле-еле? Запускай время и смотри, как скорость изменения следует за самой величиной: остывание, прогрев двигателя, разряд конденсатора, распад изотопа.
Горячий редуктор остановили. Пока масло на 75 градусов теплее воздуха, оно остывает быстро. Когда разница стала 5 градусов, остывание почти незаметно. Правило одно на все время: скорость остывания пропорциональна разнице температур. Такое правило записывают уравнением dy/dt = k · y, где y сама величина или ее разница с равновесием. Так же разряжается конденсатор, распадается радиоактивный изотоп и размножаются бактерии.
ⓘ Кривая строится по точной формуле решения. Если нужно посмотреть, как такое решение считают по шагам, когда формулы нет, открой тему «Метод Эйлера».
Уравнение задает правило: какая скорость при данной величине. Решение дает величину в любой момент. Постоянная времени одним числом говорит, как быстро все закончится. Под каждой формулой числа из опыта.
Какое правило управляет величиной?
Скорость изменения y пропорциональна самой y. При k > 0 величина растет тем быстрее, чем ее больше. При k < 0 убывает тем медленнее, чем ее меньше. Для остывания и нагрева вместо y стоит разница с равновесием: dy/dt = k · (yокр − y).
Сколько будет через время t?
Единственная функция, производная которой пропорциональна ей самой, это экспонента. Для нагрева и остывания экспонента описывает разницу: y = yокр + (y₀ − yокр) · e−kt.
Когда процесс можно считать законченным?
За время τ разница с равновесием уменьшается в e раз, то есть пройдено 63% пути. За 3τ пройдено 95%, за 5τ больше 99%. Инженеры говорят: процесс закончился через 3τ, а с запасом через 5τ.
Перепишем уравнение dy/dt = k · y так, чтобы y была слева, а t справа: dy / y = k · dt. Слева стоит производная логарифма, потому что (ln y)′ = 1 / y. Интегрируем обе части: ln y = k · t + C. Убираем логарифм: y = eC · ekt. При t = 0 получаем y₀ = eC, и ответ y = y₀ · ekt. Проверка через производную: (y₀ · ekt)′ = k · y₀ · ekt = k · y.
Для остывания введем разницу d = y − yокр. Равновесие постоянно, поэтому d′ = y′ = −k · d. Это то же уравнение, только для разницы, и d = d₀ · e−kt.
Правило 3τ получается подстановкой t = τ, 3τ, 5τ: e−1 ≈ 0,37, e−3 ≈ 0,05, e−5 ≈ 0,007. На рисунке видно еще одно свойство τ: касательная из начальной точки доходит до равновесия ровно за время τ. Если бы скорость не падала, процесс закончился бы за τ.
Уравнение первого порядка описывает одну величину, которая плавно идет к равновесию. Если есть масса и пружина, появляется вторая производная и колебания: это тема «Гармонический осциллятор».
На пульпопроводе обогатительной фабрики стоит радиоизотопный плотномер с источником цезий-137. Его активность падает примерно на 2,3% в год, период полураспада около 30 лет. Без поправки на распад прибор через несколько лет будет занижать плотность, поэтому его регулярно перекалибруют.
Масло и корпус после остановки остывают по экспоненте. Зная τ, можно заранее сказать, когда температура упадет до безопасной для вскрытия. А пробу масла на анализ берут сразу после остановки, пока оно горячее и перемешано.
Холодный дизель на высоте прогревается до рабочей температуры за несколько τ. Нагружать его раньше нельзя: масло густое, зазоры не те, износ растет. Подогреватель повышает начальную температуру y₀ и сокращает прогрев.
В звене постоянного тока частотного преобразователя стоят большие конденсаторы. После отключения питания они разряжаются через резисторы с τ = R · C. Поэтому на корпусе пишут «ждать 5 минут»: за это время проходит не меньше 5τ и напряжение падает до безопасного.
Термопара в гильзе не показывает температуру сразу: она сама прогревается по экспоненте. Постоянную времени датчика указывают в паспорте. Если τ датчика 30 с, быстрый скачок температуры масла он покажет полностью только через 1,5 минуты.
Бактерии в смазочно-охлаждающей жидкости станков делятся тем чаще, чем их больше: рост экспоненциальный. Пока их мало, рост незаметен, а потом эмульсия за день-два начинает пахнуть и расслаиваться. Поэтому концентрацию и pH проверяют по графику, а не по запаху.
Коэффициент k постоянный. Для остывания это значит: температура внутри тела везде одинаковая, теплоотдача с поверхности пропорциональна разнице с воздухом, а сам воздух не нагревается. Для двигателя модель грубая: термостат и вентилятор включаются по порогам, и после прогрева температура держится не по экспоненте, а регулятором. Распад изотопа случайный, экспонента описывает среднее по огромному числу атомов. Экспоненциальный рост не может длиться вечно: бактериям не хватит питания, и рост замедлится. Такой рост с пределом показан в теме «Поле направлений».