Какой бак на 10 м³ потребует меньше всего металла? Меняй размер и смотри, как наилучший вариант находится там, где производная обращается в ноль.
Бак на 10 м³ можно сделать узким и высоким или широким и низким. Объем один, а металла уходит разное количество. Если плавно менять радиус, площадь сначала уменьшается, потом растет. В самой низкой точке график на мгновение становится горизонтальным: наклон касательной, то есть производная, равен нулю. Это условие и позволяет найти лучший размер расчетом, без перебора.
ⓘ Оптимум в опыте найден по формуле из условия f′ = 0. Модель самосвала упрощена: расход на холостую работу двигателя, на качение колес и на потери, растущие с квадратом скорости. Коэффициенты подобраны для карьерного самосвала около 70 т порожним.
Первая формула находит кандидатов в оптимум. Вторая отличает минимум от максимума. Третья дает готовый ответ для бака, который ты подбирал в опыте. Под каждой формулой числа из опыта.
Где может быть наименьшее или наибольшее?
Пока функция убывает, производная отрицательна. Пока растет, положительна. Чтобы смениться с минуса на плюс, гладкая производная проходит через ноль. Точку, где f′ = 0, называют стационарной.
Это минимум или максимум?
Первый способ: посмотри знак f′ слева и справа. Минус, потом плюс: яма, минимум. Плюс, потом минус: горка, максимум. Второй способ: вторая производная. Если она положительна, график выгнут чашей вверх, и это минимум.
Какой бак самый экономный?
Цилиндрический бак с крышкой заданного объема требует меньше всего металла, когда его высота равна диаметру. Ответ не зависит от объема: форма всегда одна, меняется только масштаб.
Площадь бака складывается из дна, крышки и стенки: A = 2πr² + 2πrh. Объем задан: V = πr²h, отсюда h = V/(πr²). Подставим высоту и получим функцию одной переменной: A(r) = 2πr² + 2V/r. Первое слагаемое растет с радиусом, второе падает.
Найдем производную по правилам из темы «Производная»: A′(r) = 4πr − 2V/r². Приравняем к нулю: 4πr = 2V/r², откуда r³ = V/(2π) и r = ∛(V/(2π)). Подставим в высоту: h = V/(πr²) = 2πr³/(πr²) = 2r. Вторая производная A″ = 4π + 4V/r³ больше нуля при любом r, значит найденная точка именно минимум.
Если f′ = 0, это еще не гарантия оптимума. У функции x³ производная 3x² равна нулю в нуле, но там нет ни ямы, ни горки, а перегиб. Поэтому знак проверяют. И помни про края: наибольшее значение на отрезке может оказаться на его конце, где производная не ноль.
Топливные и масляные емкости склада, водовозки и цистерны стараются делать близкими к форме h = 2r. Металла уходит меньше, сварных швов меньше, бак легче и дешевле при том же объеме.
На медленной скорости двигатель долго работает на себя, на быстрой растут потери. Между ними есть скорость с наименьшим расходом на тонно-километр. Диспетчерская система карьера задает ее на длинных груженых участках.
Источник отдает наибольшую мощность в нагрузку, когда ее сопротивление равно внутреннему. Так подбирают антенны, динамики и согласующие трансформаторы. Но КПД при этом только 50%, поэтому силовые сети так не работают.
Если менять масло и фильтры часто, растут затраты на материалы. Если редко, растут затраты на ремонт. Сумма затрат на моточас имеет минимум, и по нему выбирают интервал ТО техники.
Чем выше скорость резания, тем быстрее идет обработка, но быстрее изнашивается резец. Стоимость обработки детали имеет минимум по скорости, его находят из условия равенства производной нулю.
Из круглого бревна или заготовки выпиливают балку наибольшей прочности на изгиб. Прочность пропорциональна b · h², а b² + h² задано диаметром. Ответ: h/b = √2, как в строительных нормах.
Бак считается из листа одной толщины без отходов на раскрой, швов и ребер жесткости. На практике дно часто делают толще стенки, и тогда оптимальный бак становится выше. Модель расхода самосвала не учитывает уклон дороги, разгоны и торможения, работу на разных передачах и ограничения по безопасной скорости: в карьере оптимум ограничивают правила движения. Источник в задаче о мощности считается идеальным с постоянной ЭДС 12 В и постоянным внутренним сопротивлением.