Почему груженый самосвал медленно разгоняется на подъеме? Силы, масса и второй закон Ньютона.
Кинематика из раздела 1 отвечала на вопрос «как тело движется». Динамика отвечает на вопрос «почему». Ньютон свел ответ к трем законам. Первый: если сумма всех сил на тело равна нулю, его скорость не меняется, тело стоит или едет равномерно по прямой. Второй: суммарная сила дает ускорение a = ΣF / m, и чем больше масса, тем меньше ускорение от той же силы. Третий: тела действуют друг на друга с равными и противоположными силами.
Посмотри на схему. Одна и та же сила F толкает две тележки, вторая вдвое тяжелее. За те же секунды она проходит вдвое меньший путь, потому что ее ускорение вдвое меньше. Справа свободное тело: все силы нарисованы стрелками на одном теле, и считается только их сумма.
ⓘ Уклон на рисунке настоящий, а самосвал условный. Стрелки вдоль дороги нарисованы в одном масштабе (отрезок «100 кН»), силы m g и N уменьшены в 10 раз, иначе они не поместятся. Сопротивление воздуха не учтено: на скоростях карьера оно мало.
Вся динамика держится на одном действии: найти сумму сил вдоль направления движения и разделить ее на массу. Вторая формула показывает, как это делают для самосвала на уклоне, третья для клети на канате. Числа под формулами из опыта.
С каким ускорением поедет тело?
Ускорение равно сумме всех сил, деленной на массу. Если сумма ноль, ускорения нет: тело стоит или едет равномерно, это первый закон. Направление ускорения совпадает с направлением суммарной силы.
Какая сила разгоняет самосвал на уклоне?
Из силы тяги вычитаем скатывающую силу m g sin α (часть веса вдоль дороги) и сопротивление качению f · N, где N = m g cos α. На спуске sin α отрицательный, и скатывающая сила помогает ехать.
Почему канат тянет сильнее, чем весит клеть?
Чтобы клеть разгонялась вверх, канат должен не только держать ее вес m g, но и давать добавку m a. Пол клети так же давит на шахтера: весы под ним покажут больше обычного. Вторая строка: третий закон. Канат тянет клеть вверх с силой T, клеть тянет канат вниз с той же силой.
Нарисуй свободное тело: на самосвал действуют четыре силы. Сила тяжести m g вниз, реакция дороги N поперек дороги, сила тяги Fт вдоль дороги вперед и сопротивление качению назад. Ось x направь вдоль дороги, ось y поперек.
Сила тяжести направлена под углом к обеим осям, поэтому разложи ее на две части: вдоль дороги m g sin α (тянет назад, вниз по склону) и поперек дороги m g cos α (прижимает к дороге). Поперек дороги самосвал не движется, значит сумма проекций на y равна нулю: N = m g cos α. Сопротивление качению пропорционально прижатию: Fк = f · N = f · m g cos α.
Вдоль дороги складываем проекции: ΣF = Fт − m g sin α − f · m g cos α, и по второму закону a = ΣF / m. Сумму m g (sin α + f cos α) инженеры называют полным сопротивлением дороги, а sin α + f ≈ (i + 100 f) / 100 эквивалентным уклоном: 10% подъема плюс 3% качения работают как 13% уклона.
Производитель дает кривую rimpull: силу тяги на колесах в зависимости от скорости. Инженер считает полное сопротивление m g (sin α + f) и находит на кривой точку, где тяга ему равна. Это и есть скорость, с которой груженая машина пойдет на подъем, и по ней считают время рейса и число машин.
Каждый процент сопротивления качению для груженого 220-тонного самосвала это около 22 кН лишней силы, почти как еще процент уклона. Поэтому в карьерах грейдируют и поливают дороги: на хорошей дороге машины едут быстрее, тратят меньше топлива и меньше изнашивают шины.
При разгоне клети вверх сила в канате m (g + a) больше веса, и канат с запасом прочности рассчитывают именно на нее. Ускорение ограничивают правила безопасности: для людей около 0,75 до 1 м/с², чтобы не было перегрузки и рывков.
На спуске скатывающая сила m g sin α сама разгоняет машину. Тормоз-замедлитель должен постоянно давать силу, равную ей минус сопротивление качению, иначе скорость растет. По этому расчету ограничивают допустимую скорость груженого самосвала на каждом спуске.
При резкой остановке машины тело водителя по первому закону продолжает двигаться вперед. Ремень дает силу, которая замедляет его вместе с машиной. Чем дольше длится торможение тела, тем меньше ускорение и тем меньше сила по формуле F = m a.
Груз в кузове или на платформе при торможении стремится сохранить скорость. Чтобы он не сдвинулся, силы трения и креплений должны дать ему то же замедление: F = m a. Поэтому ремни и цепи рассчитывают на долю веса груза, например 0,8 m g вперед при экстренном торможении.
Самосвал считается точкой с массой m. Сила тяги равна P / v, а на малой скорости ограничена значением P / 2 м/с (трансмиссия, первая передача) и сцеплением колес с дорогой 0,3 · m g cos α. Переключение передач, гидротрансформатор, сопротивление воздуха и потери в шинах отдельно не учтены, поэтому настоящий разгон медленнее. Тормоз не дает больше 0,45 · m g cos α. Без тормоза машина в опыте честно катится назад, если тяги не хватает. Клеть движется по простому графику: разгон, равномерный ход, торможение с тем же по величине ускорением; масса каната не учтена. Числа в готовых случаях примерные, для машины класса 130 т грузоподъемности.