Центр тяжести

Почему самосвал с поднятым кузовом опрокидывается на уклоне? Центр тяжести, опорный контур и угол опрокидывания.

01 Что это такое

Весь вес тела можно считать приложенным в одной точке. Тело стоит, пока вертикаль через эту точку проходит внутри опоры.

На каждую частицу самосвала действует своя маленькая сила тяжести: на раму, двигатель, кузов, каждый камень в кузове. Все эти силы параллельны, и их можно заменить одной силой, равной весу всего тела. Точку, через которую она проходит, называют центром тяжести, сокращенно ЦТ. У составного тела ЦТ лежит между центрами частей и ближе к тяжелой части, как точка опоры у уравновешенного рычага.

Опорный контур это область, на которую тело опирается: у ящика его дно, у машины многоугольник между точками касания колес. Пока вертикаль, опущенная из ЦТ, попадает внутрь контура, вес прижимает тело обратно к опоре. Стоит ей выйти за ребро, и тот же вес начинает опрокидывать тело. Чем выше ЦТ и чем уже опора, тем меньше угол, на котором это случится.

Слева: ЦТ фигуры из двух частей лежит на линии между их центрами, ближе к большей части. Справа: широкий низкий ящик стоит на уклоне 20°, высокий узкий опрокидывается уже на 30°, потому что вертикаль через его ЦТ вышла за нижнее ребро.

C: Центр тяжести, координаты x_c и y_c в м. Точка, где можно считать приложенным весь вес тела. У однородной пластины совпадает с ее геометрическим центром.
B: Ширина опорного контура, м. У машины расстояние между наружными точками опоры колес левого и правого борта, по-простому колея.
β: Угол опрокидывания, градусы. Наибольший поперечный уклон, на котором тело еще стоит. Для симметричного тела tg β = (B / 2) / h, где h высота ЦТ.

02 Опыт

Поднимай кузов. Ставь на косогор. Следи за вертикалью. УСТОЙЧИВОСТЬ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

СТАТИКА

Где центр тяжести и на каком уклоне машина опрокинется?

Рис. 2.6

ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

ⓘ Машины на рисунке упрощенные силуэты в масштабе, массы и размеры близки к самосвалу грузоподъемностью 90 т и большому фронтальному погрузчику. Шины и подвеска считаются жесткими, груз в поднятом кузове не сползает. Фигура это плоская пластина одинаковой толщины.

03 Формулы по буквам

Где центр тяжести и когда тело опрокинется

Первая формула находит центр тяжести составного тела по массам частей. Вторая дает угол, на котором тело опрокинется. Третья показывает, какой у тебя запас до этого угла. Числа под формулами из опыта, они меняются вместе с ним.

Где центр тяжести тела из нескольких частей?

x_c = Σ m_i x_i / Σ m_i
y_c = Σ m_i y_i / Σ m_i

Умножь массу каждой части на координату ее центра, сложи и раздели на общую массу. Получится средняя координата, где каждая часть весит столько, сколько ее масса. Для плоской фигуры одинаковой толщины вместо масс берут площади.

m_i: масса части номер i, т или кг. Для пластины площадь A_i, см²
x_i, y_i: координаты центра тяжести этой части, м
Σ: сумма по всем частям: шасси и груз, основание, стойка и полка
x_c, y_c: координаты общего ЦТ. Высоту y_c часто обозначают h

На каком уклоне тело опрокинется?

tg β = (B / 2) / h

Тангенс угла опрокидывания равен половине ширины опоры, деленной на высоту центра тяжести. Если ЦТ смещен вбок на e_c к нижнему краю, вместо B / 2 бери B / 2 − e_c: до края стало ближе. Само e_c считают по первой формуле.

β: угол опрокидывания, градусы: наибольший уклон, на котором тело еще стоит
B: ширина опорного контура, м
h: высота центра тяжести над опорой, м
B / 2 − e_c: расстояние от вертикали ЦТ до нижнего ребра на ровном месте, м

Сколько осталось до опрокидывания?

Δ = β − α
k = tg β / tg α

Запас по углу Δ показывает, на сколько градусов еще можно наклонить машину. Коэффициент устойчивости k это отношение момента веса, который удерживает машину, к моменту, который ее опрокидывает. При k больше 1 машина стоит, при k меньше 1 падает.

α: уклон, на котором стоит машина сейчас, градусы
Δ: запас по углу, градусы. Отрицательный значит опрокидывание
k: коэффициент устойчивости, безразмерный. Для кранов и погрузчиков его задают с запасом, например не меньше 1,15 или 2

Откуда берутся формулы

Положи составное тело на опору и двигай ее, пока тело не уравновесится. Каждая часть давит своим весом G_i = m_i · g на плече x_i от выбранной точки O. Общий вес G = Σ G_i должен давать относительно O такой же момент, как все части вместе, иначе замена частей одной силой была бы нечестной. Получаем равенство моментов: G · x_c = Σ G_i · x_i. Раздели на G, и g сокращается: x_c = Σ m_i x_i / Σ m_i. Момент силы и рычаг разобраны в теме 2.1.

Теперь угол опрокидывания. На уклоне α машина начинает поворачиваться вокруг нижнего ребра опоры. Вес раскладывается на две части: G · cos α прижимает машину к склону и держит ее на плече B / 2, а G · sin α тянет вниз по склону на плече h. Машина стоит, пока удерживающий момент больше: G · cos α · B / 2 > G · sin α · h. Отсюда tg α < (B / 2) / h. Граница и есть угол опрокидывания β. В этот момент вертикаль через ЦТ проходит точно через ребро.

Отношение двух моментов дает коэффициент устойчивости k = tg β / tg α. Посмотри в опыте: подними кузов, и h растет, β падает, а вместе с ним и k.

Балка из двух частей уравновешена на опоре под общим ЦТ. Моменты относительно точки O: G₁ · x₁ + G₂ · x₂ = G · x_c.

04 Где и зачем это применяют

От разгрузки самосвала до строповки груза

Разгрузка только на ровной площадке
Когда кузов поднят, ЦТ груженого самосвала уходит на метры вверх, и угол опрокидывания падает. Если груз примерз или прилип и не сходит, ЦТ остается высоко. Поэтому правила карьера требуют разгружаться на горизонтальной площадке и не поднимать кузов на поперечном уклоне.
Равномерная загрузка кузова
Машинист экскаватора кладет ковши по оси кузова. Груз, смещенный к одному борту, сдвигает общий ЦТ вбок, уменьшает запас устойчивости и перегружает шины одной стороны, они изнашиваются и греются быстрее. На повороте смещенный груз опасен вдвойне.
Грузовые характеристики кранов и погрузчиков
Грузоподъемность крана зависит от вылета стрелы: чем дальше груз, тем больше его опрокидывающий момент. Для фронтального погрузчика задают опрокидывающую нагрузку, а рабочую берут не больше ее половины. Эти таблицы и графики получают из равенства моментов вокруг ребра опрокидывания.
Строповка над центром тяжести
Крюк крана должен быть точно над ЦТ груза, иначе после отрыва груз качнется и повиснет так, чтобы ЦТ встал под крюком. Поэтому на ящиках с оборудованием рисуют знак ЦТ, а стропы подбирают разной длины, если ЦТ смещен.
Машины с низким центром тяжести
Конструктор опускает тяжелые узлы вниз и расширяет колею: так растет угол опрокидывания. У бульдозера низкий ЦТ и широкие гусеницы, поэтому он работает на откосах, где самосвал не пройдет. В паспорте каждой машины указан допустимый поперечный уклон.
Балансировка и противовесы
Если ЦТ ротора дробилки или колеса не лежит на оси, при вращении появляется сила, которая трясет подшипники, как в теме 1.3. Ротор балансируют, добавляя или снимая грузики. Противовес экскаватора и крана возвращает общий ЦТ к центру опоры, когда стрела выдвинута.

Допущения модели+

Машина считается жестким телом на жесткой опоре, поворот идет вокруг наружного ребра шин. У настоящей машины под нижним бортом сжимаются шины и подвеска, грунт под колесом проседает, а ветер и рывки при разгрузке добавляют свой момент. Поэтому настоящий угол опрокидывания меньше расчетного, а допустимые уклоны в инструкциях намного меньше β из опыта. Груз в поднятом кузове считается неподвижным: это худший случай, когда груз прилип или примерз. Погрузчик в опыте опирается на четыре колеса, у шарнирно-сочлененного погрузчика с качающимся задним мостом опора уже, и он опрокидывается вбок легче. Массы и размеры примерные: самосвал около 70 т без груза, грузоподъемность 90 т, погрузчик около 45 т. Высота ЦТ шасси взята оценочно.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →