Почему легковушка проигрывает столкновение с самосвалом, а подушка безопасности спасает? Импульс, удар и закон сохранения импульса.
Пустую тележку легко остановить рукой, груженую на той же скорости уже нет. Мера этого «количества движения» называется импульсом: p = m · v. У импульса есть направление, как у скорости: вправо считаем плюс, влево минус.
Когда два тела сталкиваются, одно теряет ровно столько импульса, сколько получает другое. Поэтому сумма импульсов до удара и после удара одинакова при любом ударе: упругом, когда тела отскакивают, и неупругом, когда они сцепляются. А вот кинетическая энергия при неупругом ударе частично уходит в смятие и нагрев.
ⓘ Удар прямой и центральный, тела движутся по одной прямой, трения и тормозов за время удара нет. Расстояния на рисунке условные, сближение и сам удар показаны растянутыми во времени; настоящая длительность удара указана в числах и на графиках. Сила удара по времени изменяется как половина синусоиды.
Первые две карточки берут числа из режима «Удар двух тел», третья из режима «Импульс силы». Двигай ползунки, и подстановка пересчитается.
Сколько «движения» несет тело?
Импульс равен массе, умноженной на скорость. Это вектор: он смотрит туда же, куда едет тело. Вдвое тяжелее при той же скорости или вдвое быстрее при той же массе: импульс вдвое больше.
Что остается неизменным при ударе?
Сумма импульсов до удара равна сумме после удара. Штрих означает «после удара». Если тела сцепились, у них одна общая скорость u: весь импульс делится на общую массу.
С какой силой бьет удар?
Произведение силы на время ее действия равно изменению импульса. Импульс, который надо погасить, задан массой и скоростью. Значит, растянуть удар во времени в 10 раз значит уменьшить среднюю силу в 10 раз.
Начнем со второго закона Ньютона из темы 3.1: F = m · a. Ускорение это изменение скорости за время, a = Δv / Δt. Подставим: F = m · Δv / Δt. Умножим обе части на Δt и получим F · Δt = m · Δv = Δp. Это и есть формула импульса силы: сила, действующая время Δt, меняет импульс тела на F · Δt.
Теперь два тела в момент удара. По третьему закону Ньютона тело 1 давит на тело 2 с силой F, а тело 2 на тело 1 с силой −F: силы равны и направлены навстречу. Действуют они одно и то же время Δt, ведь касание у них общее. Значит, тело 2 получает импульс F · Δt, а тело 1 теряет ровно столько же: Δp₁ = −F · Δt.
Сложим: Δp₁ + Δp₂ = −F · Δt + F · Δt = 0. Сумма импульсов не изменилась. Так работает любая замкнутая система, где внешние силы малы по сравнению с силой удара: внутренние силы только перекладывают импульс от одного тела к другому. Энергию они могут и отнять (смятие, нагрев), а импульс нет.
При сцепке состав из вагонов набирает общую скорость u, как в опыте, а часть энергии приходится погасить. Поглощающий аппарат автосцепки сжимается за десятые доли секунды и растягивает удар. Поэтому на сортировочных горках ограничивают скорость сцепки примерно 5 км/ч: сила растет вместе с Δp.
Здесь короткий удар полезен: боек гидромолота за миллисекунды передает импульс пике, и сила получается в сотни раз больше веса бойка. Это раскалывает негабарит. Копер для свай делают тяжелым и медленным: при неупругом ударе тяжелый молот отдает свае большую долю энергии, а легкий быстрый больше тратит на смятие оголовка.
Импульс водителя при аварии одинаков, погасить его все равно придется. Удар о руль длится около 0,01 с, подушка и ремень с натяжителем растягивают его примерно до 0,1 с. Средняя сила падает в 10 раз, и перегрузка с сотни g становится переносимой.
Вдоль бровки карьерной дороги отсыпают вал из грунта высотой не меньше половины колеса самосвала. Бетонная стена остановила бы машину за доли секунды с огромной силой и разрушила бы ее. Грунт сминается и пропускает колесо на метры, удар растягивается, а энергия уходит в работу по сдвигу грунта.
Пока ружье, ракета или пожарный ствол неподвижны, общий импульс равен нулю. Выброшенная вперед пуля, газ или струя уносят импульс m · v, и тело получает такой же импульс назад. Отсюда отдача ствола, тяга реактивного двигателя и усилие, которое держит пожарный рукав.
Стальные шары поднимаются с вращающимся барабаном и падают на руду. Удар почти неупругий: энергия, которая в опыте «теряется», здесь идет на разрушение кусков. Размер шаров подбирают так, чтобы импульса хватало расколоть самые крупные куски руды.
Удар прямой и центральный: тела движутся по одной прямой и ударяются по линии, проходящей через их центры масс, поэтому вращения нет. За время удара внешние силы (трение колес, тормоза, сила тяжести вдоль пути) намного меньше силы удара, и система считается замкнутой. Коэффициент восстановления постоянный, хотя на деле он немного зависит от скорости. Сила удара по времени изменяется как половина синусоиды, поэтому ее наибольшее значение в π/2 ≈ 1,57 раза больше средней. Упор и стена в режиме «Импульс силы» неподвижны и бесконечно тяжелы. Числа в готовых случаях примерные: у бильярдных шаров e ≈ 0,95 и удар длится доли миллисекунды, у самосвала на деле работают тормоза и сцепление шин с дорогой. Энергия и работа подробно разобраны в теме «Работа, энергия и мощность».