Bilim.techО проекте

Волновые передачи

Как гибкое колесо дает передаточное число 100 в маленьком корпусе? Волновой генератор и приводы роботов.

01 Что это такое

Овальный кулачок гнет тонкое зубчатое колесо так, что оно цепляется за жесткое кольцо только в двух местах. За оборот кулачка гибкое колесо отстает всего на два зуба, и одна ступень дает u = 100 и больше.

Звеньев три, и все они соосны. Генератор волн: овальный кулачок, на который надет тонкий гибкий подшипник. Гибкое колесо: стальной стакан с тонкой стенкой и наружными зубьями zг на открытом краю. Жесткое колесо: кольцо с внутренними зубьями, их на два больше, zж = zг + 2. Кулачок вставлен в стакан и растягивает его край в овал. На концах большой оси зубья гибкого колеса входят во впадины жесткого, а на малой оси расходятся.

Крути кулачок, и овал бежит по кругу, как волна. Зубья входят в зацепление по очереди, а гибкое колесо за один оборот генератора проворачивается относительно жесткого на разницу зубьев. Это родственник планетарной передачи из темы 6.6: генератор играет роль водила, а гибкое колесо роль сателлита, который не катается, а гнется. В зацеплении сразу 20-30 % зубьев, поэтому маленькая передача держит большой момент почти без люфта.

Вид с торцазацеплениезацеплениеw₀жесткое, zжгибкое, zггенератор волнРазрез по большой осижесткое колесо в корпусегибкое колесо: тонкий стаканстенка δ около 1 % диаметрагенераторвходвыход: днокрай стакана растянут в овал,дно остается круглымЖесткое колесо стоит в корпусе, выход с дна гибкого стакана
Слева: генератор (оранжевый) гнет гибкое колесо в овал, и оно входит в жесткое колесо сверху и снизу (темные зубья). Пунктир: круглое колесо до деформации, w₀ прогиб на большой оси. Зубьев на схеме 40 и 42, а не 200, деформация увеличена в 8 раз.
Δz
Разность зубьев, штук. Δz = zж − zг. Обычно 2: генератор двухволновой, две зоны зацепления. У трехволнового генератора Δz = 3. На столько зубьев гибкое колесо отстает за оборот генератора.
u
Передаточное число, без единиц. При неподвижном жестком колесе u = −zг / Δz: колесо с 200 зубьями дает u = −100. Минус: выход крутится против генератора. Обычно 50-160, бывает до 300.
w₀
Радиальная деформация, мм. w₀ ≈ m Δz / 2: на столько кулачок раздвигает край стакана на большой оси. При модуле 0,4 мм это всего 0,4 мм, около 1 % радиуса. Сталь выдерживает такой изгиб миллиарды раз.
02 Опыт
Считай обороты. Уменьши u. Закрепи другое колесо. ГЕНЕРАТОР ВХОД, ГИБКОЕ КОЛЕСО ГНЕТСЯ
ПЕРЕДАЧИ

Как овальный кулачок дает u = 100 одной ступенью и почему гибкое колесо не ломается?

Рис. 9.10
ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Та же u = другими передачами (оценка по типичным каталогам, масса относительно волновой)

ПередачаСтупенейКПДЛюфтМассаВалы
Передаточное число
Закручивание под нагрузкой
Запас гибкого колеса

ⓘ Торцевой вид в масштабе: число зубьев настоящее, высота зуба около 2,2 m. Радиальная деформация и зазор между колесами увеличены ползунком, настоящий прогиб w0 = m Δz / 2 составляет около 1 % радиуса. Окружные смещения точек стенки не показаны. Анимация замедлена так, чтобы генератор делал не больше 0,4 оборота в секунду, отношение скоростей точное. Доля зубьев в зацеплении, номинальный момент, жесткость, КПД и допустимые обороты оценены по типичным каталожным данным серийных передач, это учебная модель, а не расчет для подбора.

03 Формулы по буквам

Передаточное число, прогиб гибкого колеса и закручивание

Во всех карточках числа из опыта. Меняй число зубьев, модуль, толщину стенки и момент и смотри, как пересчитываются u, напряжения и угол закручивания.

Во сколько раз волновая передача понижает обороты и куда крутится выход?

u = −zг / (zж − zг)
u = zж / (zж − zг)

Первая строка: жесткое колесо стоит, выход с гибкого колеса, и он крутится в обратную сторону. Вторая: стоит гибкое колесо, выход с жесткого, в ту же сторону, и u на единицу больше.

zг
зубья гибкого колеса, обычно 100-320
zж
зубья жесткого колеса, на 2 больше при двухволновом генераторе
u
nг / nвых, минус значит вращение в обратную сторону
nг
обороты генератора, вал двигателя, об/мин

Насколько кулачок гнет гибкое колесо и почему стенку делают тонкой?

w0 ≈ m (zж − zг) / 2
σ ≈ E δ (U² − 1) w0 / (2 r²)

Прогиб равен половине разности диаметров колес. Напряжение изгиба растет с толщиной стенки и прогибом и падает с квадратом радиуса. Тонкая стенка гнется на тот же w0 с меньшим напряжением, как тонкая линейка гнется легче толстой.

m
модуль зубьев, мм
E
модуль упругости стали, 2,1·10⁵ МПа
δ
толщина стенки под зубьями, около 1 % диаметра
U
число волн генератора: 2 или 3
r
радиус срединной линии стенки, мм

Какой момент получает выход и насколько он закручивается под нагрузкой?

Tвых = Tвх |u| η
φ = T / k

Момент на выходе больше входного в |u| раз, но часть съедает трение. Под моментом гибкое колесо и зубья закручиваются, как пружина: угол равен моменту, деленному на жесткость.

η
КПД, 0,7-0,9, падает с ростом u и при малой нагрузке
k
крутильная жесткость, Н·м/рад, растет с моментом: k1 < k2 < k3
φ
угол закручивания, рад; в каталогах в угловых минутах: 1′ = 1/60°

Откуда берется u: волна обегает колесо

Шаг 1. Пусть жесткое колесо стоит, а генератор сделал один оборот. Зона зацепления обошла весь круг. Каждый зуб гибкого колеса по очереди вошел во впадину жесткого колеса, вышел и вошел в соседнюю. Шаг у колес одинаковый, а впадин у жесткого колеса на Δz больше. Значит, после полного обхода гибкое колесо встало на Δz зубьев назад, против генератора.

Шаг 2. Поворот на Δz зубьев из zг это доля оборота Δz / zг. Поэтому nвых = −nг Δz / zг, и u = −zг / Δz. Для 200 и 202 зубьев: за 100 оборотов генератора выход сделает один оборот назад.

Шаг 3. Тот же ответ дает метод остановленного водила из темы 6.6. Генератор тут водило. Добавь всем звеньям вращение −ωг: генератор остановится, и останется обычная пара с внутренним зацеплением, где гибкое колесо крутит жесткое в ту же сторону с отношением zж / zг. Таблица справа доводит это до ответа. Если же закрепить гибкое колесо, то в той же формуле ωг = 0 и выход жесткий: u = zж / Δz.

ШагГенераторГибкоеЖесткое
Как естьωгωвых0
Добавили −ωг0ωвых − ωг−ωг
Обычная пара(ωвых − ωг) / (−ωг) = zж / zг
Итогωвых = −ωг (zж − zг) / zг, u = −zг / Δz
Метод Виллиса для случая «жесткое колесо стоит». Пример: zг = 200, zж = 202. (ωвых − ωг) / (−ωг) = 1,01, откуда ωвых = −0,01 ωг и u = −100. В планетарной передаче для этого понадобилось бы три ряда.
04 Где и зачем это применяют

От руки робота до марсохода

Допущения модели+

Генератор кулачковый, деформация стенки w = w0 cos U(φ − θ) с w0 = m Δz / 2, окружные смещения стенки не учтены. Напряжение изгиба считается для кольца, изогнутого по такой форме: изменение кривизны (U² − 1) w0 / r², σ = E (δ / 2) · (U² − 1) w0 / r². Концентрация у впадин зубьев учтена множителем 2,2, кручение стенки как тонкой трубы, τ = T / (2π r² δ). Запас по усталости условный: n = σ−1 / √((2,2 σ)² + 3 τ²) при σ−1 = 420 МПа для улучшенной легированной стали; изгиб от сил на зубьях, износ и проскок зубьев не считаются, проскок только оценивается по моменту. Номинальный момент оценен как 3,2·10⁻⁴ d³ Н·м (d в мм), жесткость k1 = 0,105 d³ Н·м/рад, k2 = 1,45 k1, k3 = 1,85 k1 с переломами при 16 % и 60 % номинала, петля гистерезиса около 0,9′; это обобщение каталогов серийных передач, а не данные конкретной модели. КПД зависит от u, нагрузки и оборотов по сглаженным каталожным кривым при рабочей температуре смазки. Доля зубьев в зацеплении 19-28 % для двух волн и до 42 % для трех. Сравнение с планетарной (до 8 на ступень, КПД 0,97 на ступень, люфт около 3′ на ступень) и червячной передачей примерное. Числа в готовых случаях примерные: сустав робота с d = 80 мм, привод телескопа с d = 160 мм, солнечная панель и манипулятор марсохода с малыми передачами. Связанные темы: 6.6, 5.8 (усталость), 5.5 (кручение), 7.3 (подшипники), 9.5.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →