Где балка сломается, если на нее давит самосвал? Строим эпюры Q и M и находим опасное сечение.
В теме 2.3 мы нашли реакции опор. Но сломается балка не на опоре, а там, где ее сильнее всего гнет. Чтобы найти это место, балку мысленно разрезают в сечении x и смотрят только на левую часть. Все силы слева складываются в поперечную силу Q, а их моменты относительно разреза дают изгибающий момент M. Справа считать можно тоже, ответ тот же.
Двигай разрез от левого конца к правому и записывай Q и M. Получатся два графика вдоль балки: эпюра Q и эпюра M. Под сосредоточенной силой эпюра Q прыгает на величину силы, а на эпюре M излом. Где Q переходит через ноль, M наибольший. Это опасное сечение: здесь балку проверяют на прочность.
ⓘ Балка невесомая, если ее вес не задан нагрузкой q, и прямая; все силы вертикальные. Плюс на эпюрах откладываем вверх: так принято в машиностроении (эпюра M на сжатом волокне). Строители рисуют M на растянутом волокне, то есть зеркально; числа те же. Самосвал показан двумя силами на осях, удар и торможение не учтены. Форма прогиба в условном масштабе, балка одинаковая по всей длине.
Любую статически определимую балку считают одинаково: найди реакции (тема 2.3), разрежь балку в сечении x и сложи все, что слева. Числа под формулами из опыта, для текущего положения разреза.
Какая поперечная сила в разрезе?
Сложи все силы левее разреза: вверх с плюсом, вниз с минусом. Реакции опор тоже силы. Распределенная нагрузка дает q, умноженную на длину нагруженного участка слева.
Какой изгибающий момент в разрезе?
Каждую силу слева умножь на ее плечо: расстояние до разреза. Сила вверх дает плюс, вниз минус. Сосредоточенный момент прибавляется как есть, без плеча.
Где балке тяжелее всего?
Наклон эпюры M равен Q. Где Q переходит через ноль, M перестает расти: это вершина, опасное сечение. Где q нет, Q постоянна, а M прямая. Где есть q, Q наклонная, а M парабола.
Отрежь левую часть балки и забудь про правую. Левая часть неподвижна, значит она в равновесии. На нее действуют внешние силы слева и то, что правая часть передает через разрез: силу и момент. Чтобы сумма сил была нулем, правая часть должна дать силу, равную сумме сил слева, с обратным знаком. Это и есть Q. Чтобы сумма моментов относительно разреза была нулем, правая часть дает момент, равный сумме моментов сил слева. Это M.
Теперь вырежи совсем короткий кусочек длиной dx. Слева на него действуют Q и M, справа Q + dQ и M + dM, сверху нагрузка q · dx. Равновесие сил дает dQ = −q · dx. Равновесие моментов относительно правого края дает dM = Q · dx (слагаемое с q · dx² пренебрежимо мало). Отсюда два правила: dQ / dx = −q и dM / dx = Q.
Из них получаются табличные формулы. Сила F посередине: Q = F / 2 на левой половине, M растет по прямой и к середине доходит до F / 2 · L / 2 = F L / 4. Равномерная q: Q = q L / 2 − q x, ноль в середине, площадь треугольника под эпюрой Q до середины равна q L / 2 · L / 2 / 2 = q L² / 8.
Мост через карьерную дорогу считают на огибающую моментов: самосвал проезжает весь пролет, и для каждого сечения берут худший момент. Отсюда сечение главных балок и толщина поясов. Наибольший момент от двух осей стоит не посередине, а чуть в стороне, под тяжелой осью.
Перекрытие цеха несет равномерную нагрузку, и M max = q L² / 8 сразу дает нужный номер двутавра. Кран-балку считают на тельфер в середине пролета: M = F L / 4. Там же проверяют прогиб, чтобы тельфер не катился под горку.
Рама самосвала лежит на двух осях, сверху давит кузов с горной массой. Эпюра M показывает, где лонжерон нагружен сильнее, и именно там чаще появляются трещины. Ставы конвейера считают так же: лента с грузом дает q между роликоопорами.
Вал редуктора лежит на двух подшипниках, шестерни и шкивы давят на него силами. Строят эпюру M, находят наибольший момент и по нему диаметр вала: d ≈ ∛(32 M / (π σдоп)). Под шестерней вал толще, к подшипникам тоньше.
Стрела и рукоять экскаватора работают как консоль: момент растет к пяте стрелы и там наибольший. Поэтому стрела у основания высокая, а к концу сужается. Трещины в сварных швах у пяты ищут в первую очередь.
Стык балки (сварной или на накладках) ставят там, где M мал: у опоры или в точке, где эпюра M пересекает ноль. Усиливающие накладки приваривают в зоне M max, а не по всей длине. Так экономят металл и не ослабляют балку в опасном месте.
Балка статически определимая: две опоры (шарнир и каток) или одна жесткая заделка, поэтому реакции находятся из уравнений равновесия, как в теме 2.3. Нагрузки вертикальные и приложены к оси балки, балка прямая, прогибы малы и не меняют плечи сил. Сосредоточенная сила условно приложена в точке, на деле она распределена по пятну контакта колеса, и острый пик на эпюре M немного сглаживается. При проезде самосвала не учтены удар, торможение и раскачка: на практике их добавляют динамическим коэффициентом. Форма прогиба посчитана из y'' = M / (E I) при постоянной жесткости E I, поэтому показана только форма, без миллиметров. Числа в готовых случаях примерные.