Bilim.techО проекте

Сечения: двутавр, швеллер, труба

Почему балки делают двутавром, а не сплошным брусом? Момент инерции сечения, момент сопротивления и прочность при изгибе.

01 Что это такое

При изгибе сильнее всего нагружены волокна, дальние от середины сечения. Поэтому металл выгодно ставить подальше от оси: двутавр той же массы держит в разы больше бруса.

Согнутая балка сверху сжимается, снизу растягивается, а посередине есть слой, который не меняет длину: нейтральная ось. Напряжение растет от нее по прямой: σ = M · y / I. Волокно вдвое дальше от оси нагружено вдвое сильнее, а материал у самой оси почти не работает, только добавляет вес.

Насколько форма сечения хороша на изгиб, говорит момент инерции I = ∫ y² dA: каждый квадратный миллиметр считается с весом y², квадратом расстояния до оси. Делим на расстояние до дальнего волокна и получаем момент сопротивления W = I / ymax, тогда σmax = M / W. Двутавр, швеллер и труба выносят металл в полки и стенки, далеко от оси, и при той же массе дают W в несколько раз больше.

Брус 52 × 52 ммW = 23,4 см³Двутавр 200 × 100 ммW = 178,7 см³нейтральнаяосьсжатие −427 МПарастяжение +427 МПа−56 МПа+56 МПастенка у осипочти не работаетодна площадь 27 см², одна масса, M = 10 кН·мW больше в 7,6 раза
Цвет показывает, насколько нагружен материал: оранжевый сжат, зеленый растянут, чем темнее, тем больше напряжение. Справа от сечений эпюры σ по высоте. У бруса много металла у оси, где он почти не нагружен, поэтому крайние волокна перегружены. У двутавра металл в полках, и напряжение при том же моменте в 7,6 раза меньше.
I
Момент инерции сечения, см⁴. Сумма площадок, умноженных на квадрат расстояния до нейтральной оси: I = ∫ y² dA. У доски 50 × 200 мм на ребре 3 333 см⁴, у двутавра 30Б1 около 6 300 см⁴.
W
Момент сопротивления, см³. W = I / ymax: прочность сечения на изгиб. Его дают в сортаменте для каждого профиля. Нужный W находят как M / σдоп.
σ
Нормальное напряжение, МПа. Сила на квадратный миллиметр, как в теме «Растяжение и закон Гука». При изгибе меняется по высоте: ноль на нейтральной оси, наибольшее σmax = M / W в дальнем волокне.
02 Опыт
Выбирай форму. Меняй размеры. Сравнивай при той же массе. НАПРЯЖЕНИЕ РАСТЕТ ОТ ОСИ
СОПРОМАТ

Почему балку делают двутавром, а не сплошным брусом?

Рис. 5.4
Сжатие Растяжение Эпюра σ
ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Момент сопротивления, W
Наибольшее напряжение, σmax
Запас по σт, n

ⓘ Балка гнется в вертикальной плоскости, материал упругий, сечения остаются плоскими. Нейтральная ось горизонтальна и проходит через центр тяжести. Профили собраны из прямоугольников без скруглений, поэтому площадь и момент инерции на несколько процентов отличаются от сортамента. Оба сечения в режиме сравнения нарисованы в одном масштабе, эпюры тоже. Оранжевая точка слева от сечения двигает полоску dA по высоте.

03 Формулы по буквам

Напряжение при изгибе, момент инерции и момент сопротивления

Все три карточки берут числа из опыта. Меняй форму и размеры или выбери готовый случай, и подстановка пересчитается.

Какое напряжение в волокне на расстоянии y от оси?

σ = M · y / I
σmax = M / W

Напряжение пропорционально расстоянию от нейтральной оси: на оси ноль, в дальнем волокне наибольшее. Момент вдвое больше, напряжение вдвое больше. Момент инерции вдвое больше, напряжение вдвое меньше.

σ
нормальное напряжение, МПа = Н/мм². Сверху сжатие, снизу растяжение (при прогибе вниз)
M
изгибающий момент в сечении, Н·мм или кН·м. Берется с эпюры M из темы «Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов»
y
расстояние от нейтральной оси до волокна, мм
I, W
момент инерции, мм⁴, и момент сопротивления, мм³, сечения

Как посчитать момент инерции сечения?

Iпрям = b h³ / 12
I = Ic + A d²

У прямоугольника высота входит в кубе: доска на ребре в (h / b)² раз жестче, чем плашмя. Сложное сечение делят на прямоугольники. Каждый дает свой Ic и добавку A d² за то, что он сдвинут от общей оси на d. У полок двутавра почти весь вклад дает именно A d². Для кольца I = π (D⁴ − d⁴) / 64.

b, h
ширина и высота прямоугольника, мм. Высота меряется поперек нейтральной оси
Ic
момент инерции части относительно ее собственной средней линии, мм⁴
A
площадь части, мм²
d
расстояние от центра части до нейтральной оси всего сечения, мм

Выдержит ли профиль заданный момент?

W = I / ymax
Wпрям = b h² / 6

Момент сопротивления: момент инерции, деленный на расстояние до самого дальнего волокна. Именно W стоит в сортаменте рядом с номером профиля. Конструктор считает нужный W = M · n / σт и берет ближайший профиль с W не меньше.

W
момент сопротивления, мм³ или см³ (1 см³ = 1000 мм³)
ymax
расстояние от нейтральной оси до дальнего края, мм. У несимметричного сечения больше половины высоты
n
запас прочности: во сколько раз предел материала σт больше σmax

Откуда в моменте инерции квадрат расстояния y²

Сечения балки при изгибе остаются плоскими и только поворачиваются. Значит, удлинение волокна пропорционально его расстоянию до нейтральной оси, а по закону Гука и напряжение: σ = c · y, где c пока неизвестно. Волокна выше оси сжаты, ниже растянуты.

Возьмем тонкую полоску площадью dA на высоте y. На нее действует сила dF = σ · dA = c · y · dA. Эта сила стоит на плече y от оси и дает момент dM = dF · y = c · y² · dA. Здесь y появился дважды: один раз в напряжении, второй раз в плече.

Сложим все полоски, и их момент должен уравновесить внешний момент M: M = c · ∫ y² dA = c · I. Отсюда c = M / I и σ = M · y / I. Интеграл I = ∫ y² dA зависит только от формы сечения. Сила полоски у оси мала, и плечо у нее мало, поэтому вклад ничтожный; полоска вдвое дальше дает вчетверо больше. Ось проходит через центр тяжести, потому что сумма сил сжатия и растяжения равна нулю: ∫ y dA = 0.

dAнейтральная осьyσ = M y / Iсила σ · dAσ ~ ydM = σ · dA · y = (M / I) · y² · dAвсе полоски вместе: M = (M / I) · ∫ y² dA
Расстояние y работает дважды: от него растет напряжение в полоске и плечо ее силы. Поэтому вклад полоски в момент пропорционален y², а сумма ∫ y² dA и есть момент инерции I.
04 Где и зачем это применяют

От двутавра эстакады до стрелы экскаватора

Допущения модели+

Чистый изгиб в вертикальной плоскости, материал упругий и подчиняется закону Гука, сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Поперечная сила и касательные напряжения от нее здесь не учитываются. Нейтральная ось проходит через центр тяжести и считается горизонтальной. Для уголка это приближение: его главные оси наклонены, и при вертикальной нагрузке он изгибается еще и вбок (косой изгиб), а настоящее напряжение будет больше. Швеллер при нагрузке не через центр изгиба еще и закручивается. Профили собраны из прямоугольников без скруглений, поэтому A, I и W на несколько процентов отличаются от сортамента; размеры 30Б1, 20П и лонжерона самосвала примерные. Тонкие стенки и полки при сжатии могут потерять местную устойчивость раньше, чем дойдут до σт; это здесь не проверяется. Для сосны вместо предела текучести взят примерный предел прочности при изгибе, около 40 МПа; расчетное сопротивление по нормам в несколько раз ниже. Второе сечение в режиме сравнения строится в типовых пропорциях с той же площадью, что и первое.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →