Почему обод колеса движется быстрее ступицы, а шары в мельнице прилипают к стенке, если барабан крутить слишком быстро? Обороты, радианы и центростремительное ускорение.
Скорость это стрелка: у нее есть длина и направление. При движении по окружности длина стрелки может не меняться, а направление меняется непрерывно, ведь стрелка всегда смотрит по касательной. Если вычесть из новой скорости старую, разница указывает в центр окружности. Это и есть центростремительное ускорение.
Чтобы описать вращение, удобно говорить не о метрах, а об углах: на сколько радиан повернулось колесо за секунду. Один радиан это такой угол, при котором дуга равна радиусу.
Угол растет равномерно, а координаты и проекции скорости качаются по синусу и косинусу. Скорость по величине постоянна, но ее проекции все время меняются: значит, меняется направление.
ⓘ Диск на рисунке всегда одного размера, настоящий радиус указан подписью. Вращение равномерное.
На технике пишут обороты в минуту, а в расчетах нужны радианы в секунду. Первая формула переводит одно в другое, вторая дает скорость точки, третья ускорение. Числа под формулами из опыта.
Как перевести обороты в минуту в рад/с?
Один оборот это 2π радиан. За минуту n оборотов, значит 2π · n радиан, а за секунду в 60 раз меньше. Период T показывает, сколько секунд длится один оборот.
С какой скоростью движется точка?
За секунду колесо поворачивается на ω радиан. Каждый радиан это дуга длиной R. Поэтому за секунду точка проходит ω · R метров. Чем дальше от оси, тем быстрее.
Какое ускорение направлено к центру?
Ускорение растет как квадрат скорости. Вдвое быстрее по тому же кругу значит вчетверо большее ускорение. Поэтому на крутых поворотах так важно сбрасывать скорость.
Пусть за короткое время Δt точка повернулась на маленький угол Δφ. Радиус повернулся на Δφ, и стрелка скорости, которая всегда перпендикулярна радиусу, повернулась на тот же угол.
Получаются два похожих равнобедренных треугольника. Первый из двух радиусов R и дуги Δs = v · Δt. Второй из двух скоростей v и их разности Δv. Из подобия Δv / v = Δs / R, то есть Δv = v · v · Δt / R.
Ускорение это изменение скорости за единицу времени: a = Δv / Δt = v² / R. Подставив v = ω · R, получаем вторую форму: a = ω² · R.
Спидометр на самом деле считает обороты колеса, а скорость получает по формуле v = ω · R. Если поставить шины другого размера или колесо сильно износится, R изменится, и спидометр начнет ошибаться.
Скорость ленты равна окружной скорости приводного барабана. Зная нужную скорость ленты и диаметр барабана, находят обороты, а по оборотам двигателя подбирают передаточное число редуктора.
Если барабан крутить слишком быстро, ускорение ω² · R в верхней точке превысит g, и шары прилипнут к стенке вместо того, чтобы падать и дробить руду. Критические обороты nкр = 42,3 / √D, рабочие обычно 65–80% от них.
На повороте машине нужно ускорение v² / R к центру, и дают его только шины. На мокрой или скользкой карьерной дороге сцепления меньше, поэтому на крутых поворотах ставят ограничение скорости и делают уклон дороги внутрь поворота.
Ускорение в тысячи g разделяет масло и воду, топливо и грязь, руду по плотности. Чем больше обороты и радиус, тем сильнее и быстрее идет разделение.
На каждом круге указана предельная окружная скорость, например 80 м/с. Если поставить круг большего диаметра на ту же машину, v = ω · R вырастет, и круг может разорваться.
Вращение считается равномерным: ω постоянна. Если обороты растут или падают, у точки появляется еще и касательное ускорение вдоль скорости, о нем будет тема 1.4 «Вращение твердого тела». Числа в готовых случаях примерные: колесо карьерного самосвала с радиусом около 1,8 м, барабан конвейера диаметром 1 м, мельница диаметром 5 м, поворот радиусом 40 м, лабораторная центрифуга.