Сколько оборотов сделает двигатель после отключения и с каким ускорением идет канат шахтного подъема? Угловое ускорение и формулы самосвала, переписанные для вращения.
В теме 1.3 диск крутился с постоянной скоростью. Но любой мотор сначала разгоняется, а после отключения еще долго вращается по инерции и постепенно останавливается. Это называют выбегом. Чтобы описать такое вращение, к углу φ и угловой скорости ω добавляют угловое ускорение ε: на сколько рад/с меняется ω за каждую секунду.
Хорошая новость: все, что ты знаешь о разгоне и торможении самосвала из темы 1.1, работает и здесь. Путь превращается в угол, скорость в угловую скорость, ускорение в угловое ускорение.
Те же три графика, что у самосвала в теме 1.1. Площадь под графиком ω(t) равна углу поворота φ.
ⓘ Угловое ускорение в опыте постоянное. Диск на рисунке всегда одного размера, настоящий радиус указан подписью.
Первые две формулы повторяют тему 1.1 с заменой букв. Третья новая: она показывает, что у точки на ободе разгоняющегося диска два ускорения сразу. Числа под формулами из опыта.
Какая будет угловая скорость через t секунд?
Угловая скорость сейчас равна начальной плюс прибавка: угловое ускорение, умноженное на время. При выбеге ε отрицательное, и ω падает до нуля.
На какой угол повернется тело и сколько это оборотов?
Та же формула пути, что у самосвала. Чтобы перейти от радиан к оборотам, делим на 2π. До полной остановки при выбеге тело повернется на φ = ω₀² / (2|ε|), это аналог тормозного пути.
Какое ускорение у точки на ободе?
Касательное ускорение aτ меняет величину скорости точки. Нормальное an меняет ее направление, это центростремительное из темы 1.3. Полное ускорение складывается по теореме Пифагора: a = √(aτ² + an²).
Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение связаны между собой так же, как путь, скорость и ускорение: ω показывает, как быстро меняется φ, а ε показывает, как быстро меняется ω. Поэтому все формулы равноускоренного движения из темы 1.1 переносятся на вращение простой заменой букв по таблице.
Связь с движением точки на ободе дает радиус. Из темы 1.3 мы знаем, что v = ω · R. Если ω меняется на ε за секунду, то v меняется на ε · R за секунду: это и есть касательное ускорение aτ = ε · R. А центростремительное an = ω² · R никуда не делось, потому что точка по-прежнему движется по окружности.
В начале разгона ω мала, и почти все ускорение касательное. Когда диск раскрутился, главным становится нормальное. Посмотри на стрелки в опыте в случае «Пуск мельницы» и «Выбег двигателя».
| Движение по прямой | Вращение |
|---|---|
| путь s, м | угол φ, рад |
| скорость v, м/с | угловая скорость ω, рад/с |
| ускорение a, м/с² | угловое ускорение ε, рад/с² |
| v = v₀ + a · t | ω = ω₀ + ε · t |
| s = v₀ · t + a · t² / 2 | φ = ω₀ · t + ε · t² / 2 |
| sт = v₀² / (2|a|) | φост = ω₀² / (2|ε|) |
| связь через радиус: s = φ · R, v = ω · R, aτ = ε · R | |
После нажатия «Стоп» вал дробилки или вентилятора еще долго вращается. По времени выбега tост = ω₀ / |ε| решают, через сколько можно открывать защитное ограждение, и нужен ли механический или электрический тормоз.
Канат наматывается на барабан, поэтому скорость и ускорение клети равны ω · R и ε · R. Угловое ускорение барабана задают так, чтобы клеть с людьми разгонялась и тормозила плавно, в пределах правил безопасности.
Тяжелый барабан нельзя раскрутить мгновенно: двигатель и редуктор не выдержат. Пуск растягивают на несколько секунд с небольшим ε, а оборудование для плавного пуска (частотник, муфта) подбирают по этому расчету.
Если на подъемном конвейере пропало питание, груженая лента может пойти назад. Тормоз и стопор на приводном барабане рассчитывают так, чтобы ε торможения остановило барабан за допустимое число оборотов.
Шпиндель токарного станка разгоняют и тормозят по заданному ε. Программа учитывает, сколько оборотов он сделает до нужной скорости, чтобы резец не врезался в деталь раньше времени.
Угловое замедление колеса связано с замедлением машины через радиус: a = ε · R. Антиблокировочная система (ABS) следит, чтобы ε колеса не стало слишком большим, иначе колесо заблокируется и пойдет юзом.
Угловое ускорение считается постоянным. У настоящего выбега оно обычно уменьшается по мере падения оборотов, потому что сопротивление воздуха и трение зависят от скорости, поэтому реальная остановка затягивается. Почему одно тело раскрутить легко, а другое трудно, объясняет динамика: момент силы и момент инерции, темы 3.4 и 3.5. Числа в готовых случаях примерные.