Почему дальше всего летит брошенное под 45°, а 30° и 60° дают одну и ту же дальность? Меняй угол, скорость и высоту, бросай на Земле и на Луне.
Это главная идея темы. По горизонтали на тело ничего не действует (если забыть про воздух), поэтому за каждую секунду оно смещается вбок на одно и то же расстояние. По вертикали тянет сила тяжести: тело сначала тормозит, как самосвал из темы 1.1, на миг замирает в верхней точке и затем разгоняется вниз. Сложение этих двух простых движений и дает кривую, которую называют параболой.
Поэтому сложную задачу про бросок решают как две простые: одну про равномерное движение, другую про равноускоренное.
x(t) прямая: вбок тело летит равномерно. y(t) парабола: вверх и вниз движение равноускоренное. vₓ не меняется, vy падает на g каждую секунду.
ⓘ Масштаб по горизонтали и вертикали одинаковый, поэтому углы на рисунке настоящие. Долгие полеты показаны ускоренно.
Сначала скорость раскладывают на горизонтальную и вертикальную части. Дальше каждую часть считают формулами из темы 1.1. Числа под формулами берутся из опыта и пересчитываются, когда двигаешь ползунки.
Как разложить скорость на две части?
Косинус угла показывает, какая доля скорости идет вбок, синус показывает, какая доля идет вверх. При 0° вся скорость горизонтальная, при 90° вся вертикальная.
Где тело через t секунд?
По горизонтали путь растет равномерно. По вертикали это формула пути из темы 1.1, только ускорение равно −g: сила тяжести тянет вниз.
Как далеко и как высоко? (бросок с земли, h = 0)
Дальность зависит от синуса двойного угла. Его наибольшее значение 1 при 2α = 90°, то есть α = 45°. А 30° и 60° дают одинаковую дальность, потому что sin 60° = sin 120°.
Вектор скорости v₀ и две его части образуют прямоугольный треугольник. Гипотенуза это v₀, прилежащий к углу α катет это vₓ, противолежащий это vy. По определению косинуса и синуса vₓ = v₀ · cos α и vy = v₀ · sin α.
Время подъема: вертикальная скорость падает от vy до нуля с ускорением g, значит tпод = vy / g. Спуск с той же высоты занимает столько же, поэтому T = 2vy / g. За это время тело улетает вбок на L = vₓ · T = 2 · v₀² · sin α · cos α / g. Произведение 2 · sin α · cos α равно sin 2α, отсюда формула дальности.
Высоту дает тормозной путь из темы 1.1, только вместо самосвала вертикальная скорость: H = vy² / (2g).
Руда слетает с головного барабана ленты почти горизонтально. По траектории полета рассчитывают, куда ставить приемную воронку и отбойную плиту, чтобы материал не бил по металлу и не просыпался мимо.
Струя воды летит по той же параболе, пока ее не разорвет воздух. Угол и давление подбирают, чтобы струя доставала до забоя или до очага огня с безопасного расстояния.
Песко-разбрасыватели на дорогах, сеялки и роторные снегоочистители выбрасывают материал под заданным углом. От скорости и угла выброса зависит ширина полосы, которую они покрывают.
Груз продолжает лететь вперед со скоростью машины и одновременно падает. Сбрасывать его нужно заранее, на расстоянии vₓ · T до цели, иначе он упадет дальше.
Ядро толкают с высоты плеча, поэтому лучший угол меньше 45°: около 40°. Баскетболист бросает по высокой дуге, чтобы мяч входил в кольцо круче и чаще попадал.
Поливная насадка вращается и бросает воду на расстояние L. Зная дальность, считают, сколько насадок нужно на поле и как далеко их ставить друг от друга.
Тело считается точкой, g постоянно, Земля плоская, ветра нет. Формулы из блока 03 написаны без учета воздуха. С включенным сопротивлением опыт считает полет численно: сила сопротивления растет как квадрат скорости и направлена против движения. На практике воздух заметно укорачивает полет легких и быстрых тел (мяч, струя воды) и почти не влияет на тяжелые и медленные (куски руды с конвейера).