Что общего у остывающего масла, разряда конденсатора и вклада под проценты? Каждый шаг величина умножается на одно и то же число. Сравни такой рост с обычной прибавкой и найди время удвоения.
У линейной функции на каждом шаге прибавляется одно и то же. У показательной на каждом шаге умножается на одно и то же. Сначала разница почти не видна, а потом умножение обгоняет любую прибавку. С уменьшением так же: если каждый шаг остается одна и та же доля, величина быстро падает, но до нуля никогда не доходит. Так остывает двигатель, разряжается конденсатор, растет вклад и стареет аккумулятор.
ⓘ Кривая проведена по формуле с непрерывным временем, столбики показывают ее значения в концах шагов. Числа в готовых случаях типичные: остывание масла зависит от объема картера и ветра, потеря емкости от числа циклов и температуры.
Первая формула считает величину по числу шагов. Вторая делает то же для непрерывного времени через число e. Третья отвечает, за сколько величина удвоится или уменьшится вдвое. Под каждой формулой числа из опыта.
Сколько будет через n шагов?
Начальное значение умножаем на множитель шага столько раз, сколько прошло шагов. Показатель степени n и есть число шагов: время, деленное на длину шага.
А если рост идет непрерывно?
Остывание и разряд идут не скачками, а в каждый миг. Для них берут основание e и темп k. Любое aⁿ можно переписать так: k = ln a / Δt, где Δt длина шага.
За сколько вырастет вдвое?
Удвоение значит ekT = 2. Логарифм снимает степень: kT = ln 2. Для спада то же самое с половиной. Время T не зависит от начального значения.
Положи 1 сом под 100 % годовых. Если проценты начислить раз в год, получишь 2 сома. Если дважды по 50 %, то 1,5 · 1,5 = 2,25. Если 12 раз по 1/12, то (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613. Чем чаще начисление, тем больше, но рост замедляется и упирается в предел 2,718... Это и есть e: результат роста на 100 %, который идет непрерывно.
Отсюда и время удвоения. Чтобы найти показатель степени, нужен логарифм: если ekT = 2, то kT = ln 2. Поэтому показательная функция и логарифм это пара прямой и обратной операций. На логарифмической оси показательный рост выглядит прямой линией: про это опыт «Линейная и логарифмическая шкала».
Разница температур двигателя и воздуха убывает показательно. По постоянной времени понимают, сколько ждать перед заменой масла или замером, и сколько прогревать гидравлику экскаватора зимой.
Напряжение на конденсаторе при разряде u = U₀ · e−t/RC. За 3RC остается 5 %, за 5RC меньше 1 %. Так выбирают время задержки реле и проверяют, что после отключения на шинах частотного привода не осталось опасного напряжения.
Если отказы случайны и не зависят от возраста, доля исправных узлов падает как e−λt, где λ интенсивность отказов. По этому закону планируют запас запчастей для парка самосвалов.
Вклады, кредиты на технику, инфляция растут сложными процентами. При 12 % в год сумма удваивается примерно за 6 лет. Поэтому стоимость ремонта через 5 лет нельзя считать по сегодняшним ценам.
Размах колебаний подвески или стрелы после толчка уменьшается по огибающей e−δt. Чем больше δ, тем быстрее гаснет раскачка. Посмотри это в опыте «Гармонический осциллятор».
Каждый слой бетона или свинца ослабляет излучение в одно и то же число раз, поэтому толщину защиты считают через слой половинного ослабления. Так же работают пылевые фильтры: каждая ступень задерживает одну и ту же долю.
Показательный закон верен, пока темп изменения пропорционален самой величине и сам темп постоянен. Масло остывает быстрее на ветру и медленнее в закрытом боксе, и температура воздуха считается неизменной. Конденсатор и резистор считаются идеальными. Ставка по вкладу постоянна. Емкость аккумулятора на деле падает быстрее под конец срока службы. Никакой рост в природе не идет показательно бесконечно: его ограничивают ресурсы, и кривая со временем загибается.