Почему тормозной путь вчетверо длиннее при вдвое большей скорости? Меняй a, b, c и смотри, как парабола находит вершину, а дискриминант решает, сколько у нее корней.
Брось камень вверх под углом. Сначала он быстро набирает высоту, потом все медленнее, в верхней точке на мгновение летит горизонтально и начинает падать так же, как поднимался. Путь камня это парабола. У нее есть самая высокая или самая низкая точка, вершина, и ось симметрии через нее. Точки, где парабола пересекает ось x, называют корнями: для камня это место падения.
ⓘ При перетаскивании вершины a остается прежним, а b и c пересчитываются. В готовых случаях числа взяты из типичных условий: бросок 10 м/с под 45°, торможение с коэффициентом сцепления 0,5 (сухой грунт), аккумулятор 12 В с внутренним сопротивлением 0,5 Ом.
Первая формула задает параболу. Вторая находит, где она пересекает ось x. Третья находит вершину: место наибольшего или наименьшего значения. Под каждой формулой числа из опыта.
Как устроена квадратичная функция?
Три слагаемых: квадрат x с множителем a, просто x с множителем b и постоянная c. Главное слагаемое ax²: при больших x оно перевешивает остальные и задает форму.
Где парабола пересекает ось x?
Сначала считаем дискриминант. Если он больше нуля, корней два: один со знаком плюс, другой с минусом. Если ноль, корень один. Если меньше нуля, корня из него нет, и корней нет.
Где наибольшее или наименьшее значение?
Вершина лежит на оси симметрии, ровно посередине между корнями. Значение в вершине y₀ = −D / (4a) или просто подставь x₀ в формулу функции.
Любая парабола это y = ax², сдвинутая так, чтобы вершина попала в точку (x₀; y₀): y = a(x − x₀)² + y₀. Раскроем скобку: ax² − 2ax₀·x + ax₀² + y₀. Сравним с ax² + bx + c: при x стоит b = −2ax₀. Отсюда x₀ = −b / (2a).
Корни ищем из условия y = 0: a(x − x₀)² = −y₀, то есть (x − x₀)² = −y₀ / a. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому решение есть, только если −y₀ / a не меньше нуля. Если подставить x₀ и y₀ через a, b, c, выйдет −y₀ / a = (b² − 4ac) / (4a²) = D / (4a²). Корни стоят на расстоянии √D / (2a) по обе стороны от оси, отсюда формула с ±.
Путь торможения s = v² / (2μg) растет как квадрат скорости. Самосвал на 40 км/ч тормозит на сухом грунте около 13 м, на 80 км/ч уже около 50 м. Поэтому скорость в карьере ограничивают, а не только требуют хороших тормозов.
Куски породы при взрыве, струя гидромонитора, поток с конвейера летят по параболе. Вершина дает высоту, корень дает дальность: так считают безопасную зону и место для бункера под ленточным конвейером.
Мощность на нагрузке источника P = E·I − r·I² это парабола ветвями вниз. Вершина при I = E / (2r): нагрузка с сопротивлением, равным внутреннему, получает наибольшую мощность. Так подбирают сварочные режимы и согласуют усилители.
Момент в балке под равномерной нагрузкой M = q·x·(L − x) / 2 это парабола с вершиной посередине пролета. Там балка нагружена сильнее всего, туда ставят ребра жесткости.
Отражатель в форме параболы собирает параллельные лучи в фокус и, наоборот, превращает свет лампы в фокусе в ровный пучок. Так устроены фары карьерной техники, спутниковые антенны и солнечные концентраторы.
Тепло в кабеле P = I²·R растет как квадрат тока. Вдвое больший ток греет кабель в четыре раза сильнее. Поэтому сечение кабеля к экскаватору выбирают по току с запасом, а мощность передают на высоком напряжении.
Траектория камня считается без сопротивления воздуха: для тяжелых кусков на малых скоростях это близко к правде, для легких частиц и больших скоростей реальная дальность меньше. В тормозном пути коэффициент сцепления считается постоянным, время реакции водителя не учтено (его можно добавить слагаемым b·v), хотя на мокром или обледенелом грунте сцепление падает в 2-4 раза. Внутреннее сопротивление аккумулятора считается неизменным, на деле оно растет при разряде и на морозе. Отрицательные скорости, токи и дальности на графиках не имеют смысла, эти участки затенены.