Bilim.techО проекте

Ременные и цепные передачи

Почему ремень проскальзывает на мокром шкиве и сколько нужно натяжения, чтобы передать мощность? Формула Эйлера для ремня, натяжение ветвей и цепь.

01 Что это такое

Ремень передает момент трением о шкив, поэтому одна его ветвь натянута сильнее другой. Насколько сильнее можно, решает формула Эйлера: F₁ / F₂ ≤ ef α.

Ведущий шкив тянет ремень за собой, как в теме 2.5 «Трение»: ремень прижат к шкиву и цепляется за него силой трения. Ведущая ветвь натягивается до F₁, ведомая ослабевает до F₂, а разность F₁ − F₂ и есть окружная сила, которая крутит ведомый шкив. Пока натяжение растет плавно, вдоль дуги обхвата, ремень держит. Если нужно больше, чем дает трение, ремень буксует: шкив крутится, а ремень скользит по нему.

Предел зависит от трения f и от угла обхвата α малого шкива, причем через экспоненту: каждый лишний десяток градусов обхвата умножает допустимое отношение натяжений. Цепь держится не трением, а зубьями звездочки, поэтому не проскальзывает. Зато она ложится на звездочку многоугольником, и ее скорость пульсирует. Передачу зубьями без ремня и цепи смотри в теме 6.1 «Зубчатая передача».

αF₁ ведущая ветвьF₂ ведомаяведущий d₁ведомый d₂F₂F₁Натяжение вдоль дугискольжениепокойпредел F₂ e^(f θ)угол θ по дуге →
Нижняя ветвь натянута сильнее: ее тянет ведущий шкив. Пунктир на малом шкиве: дуга обхвата α. Справа: натяжение растет по экспоненте только на части дуги, где ремень чуть скользит; на остальной дуге он покоится. Если дуги скольжения не хватает, ремень буксует.
α
Угол обхвата, градусы или радианы. Дуга, по которой ремень касается малого шкива. При равных шкивах 180°, чем больше разница диаметров и короче межосевое расстояние, тем меньше. Ниже 120° плоский ремень обычно не ставят.
F₁, F₂
Натяжение ведущей и ведомой ветви, Н. Их разность F₁ − F₂ передает окружную силу. Сумма задается при монтаже: F₁ + F₂ = 2F₀, где F₀ предварительное натяжение.
f′
Коэффициент трения, без единиц. Резина по сухому чугуну около 0,3, по мокрому вдвое меньше, по маслу еще меньше. Клиновой ремень распирает канавку, и приведенный f′ = f / sin 20° примерно втрое больше.
02 Опыт
Нагрузи ремень. Намочи шкив. Сравни с цепью. НАТЯЖЕНИЯ СЧИТАЮТСЯ ПО ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА
ДЕТАЛИ МАШИН

Удержит ли ремень нагрузку и почему цепь дергается?

Рис. 7.2
ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Угол обхвата малого шкива
Натяжения ветвей
Запас по сцеплению

ⓘ Ремень считается нерастяжимым при расчете углов и упругим только для скольжения 0,5-2 %. Центробежное натяжение ремня на быстром ходу и провисание ветвей не учтены. Клиновой ремень посчитан с углом канавки 40°, мощность и натяжение относятся ко всему комплекту ремней. При буксовании ремень на рисунке еле ползет, а ведомый шкив почти встает: на деле он вращается рывками и ремень греется. Цепь нарисована в своем масштабе: расстояние между звездочками сокращено, а лупа показывает малую звездочку крупно. Вращение замедлено, числа и графики настоящие.

03 Формулы по буквам

Передаточное отношение, неравномерность цепи и формула Эйлера

Во всех карточках числа из опыта. Первая и третья берут их из режима ремня, вторая из режима цепи.

Во сколько раз передача меняет обороты и какую силу передает ремень?

u = d₂ / d₁ = n₁ / n₂
Ft = F₁ − F₂ = 2T / d₁

Ремень бежит по обоим шкивам с одной скоростью, поэтому шкив вдвое большего диаметра крутится вдвое медленнее. На деле ведомый отстает еще на 1-2 %: это упругое скольжение. Окружная сила это момент ведущего вала, деленный на радиус шкива, и ее дает разность натяжений ветвей.

u
передаточное отношение, без единиц
d₁, d₂
диаметры ведущего и ведомого шкива, м
n₁, n₂
обороты валов, об/мин
T
момент на ведущем валу, Н·м; T = P / ω, как в теме 1.4
Ft
окружная сила, Н

Насколько неровно идет цепь?

Δv / v ≈ 1 − cos(180° / z)
R = p / (2 sin(180° / z))

Цепь ложится на звездочку не по кругу, а многоугольником со стороной p. Ролик, который тянет цепь, то выходит на радиус R, то опускается до R cos(180°/z), и скорость цепи качается между ωR и ωR cos(180°/z). Чем больше зубьев, тем ближе многоугольник к кругу.

z
число зубьев малой звездочки
p
шаг цепи, м: расстояние между осями соседних роликов
R
радиус делительной окружности звездочки, м
Δv / v
доля, на которую падает скорость цепи от наибольшей, %

Когда ремень начнет буксовать?

F₁ / F₂ ≤ ef α

Натяжение ведущей ветви может превышать натяжение ведомой не больше чем в ef α раз. Нужно больше: ремень буксует. Помогают три вещи: больше трение f, больше угол обхвата α и больше натяжение F₀, которое поднимает обе ветви сразу.

e
число Эйлера, около 2,718
f
коэффициент трения; у клинового ремня f′ = f / sin 20°
α
угол обхвата малого шкива, радианы (180° = 3,14 рад)

Откуда берется формула Эйлера

Вырежем из ремня на шкиве маленький кусочек, который опирается на дугу dα. С одной стороны его тянет натяжение F, с другой немного большее F + dF. Обе силы направлены по касательным, а касательные на концах кусочка повернуты друг к другу на угол dα.

Поэтому обе силы немного прижимают кусочек к шкиву. Их проекции к центру дают силу прижатия dN = F · dα (синус малого угла равен самому углу). Трение может удержать кусочек, пока разность натяжений не больше f · dN, как у бруска в теме 2.5: dF ≤ f · F · dα.

Раздели на F: dF / F ≤ f dα. Сложим кусочки по всей дуге от ведомой ветви (F₂) до ведущей (F₁). Сумма dF / F это натуральный логарифм: ln(F₁ / F₂) ≤ f α. Сними логарифм и получишь F₁ / F₂ ≤ ef α. У клинового ремня в канавке с углом 40° сила прижатия к стенкам в 1 / sin 20° ≈ 2,9 раза больше, поэтому вместо f стоит f′ ≈ 2,9 f.

dαFF + dFdN = F dαf dNdF = f F dαln(F₁ / F₂) = f α
Кусочек ремня на дуге dα. Натяжения F и F + dF прижимают его к шкиву силой dN, трение f dN удерживает разницу dF.
04 Где и зачем это применяют

От вентилятора до шахтного подъема

Допущения модели+

Формула Эйлера выведена для гибкой нерастяжимой нити без массы. Центробежная сила ремня на большой скорости (больше 20-25 м/с) уменьшает прижатие и тоже вычитается из F₀, здесь она не учтена. Упругое скольжение 0,5-2 % задано простым правилом: растет вместе с нагрузкой. Буксование проверяется по шкиву с меньшим обхватом, ролик сам момент не передает. Коэффициенты трения примерные: резина по сухому чугуну около 0,3, по мокрому около 0,15, по маслу около 0,08; клиновой ремень с углом канавки 40°. Числа в готовых случаях реалистичные, но примерные: вентилятор 7,5 кВт при 1460 об/мин, плоский ремень 11 кВт, цепь мотоцикла 30 кВт при 2600 об/мин ведущей звездочки, привод конвейера 5,5 кВт при 150 об/мин. В цепи учтен только многоугольный эффект ведущей звездочки, вытяжка цепи и ее провисание не учтены. Зубчатую передачу смотри в теме 6.1, трение бруска в теме 2.5.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →