Как найти расстояние до точки на другом берегу, не переходя реку? Задай три элемента треугольника и смотри, как теоремы синусов и косинусов находят все остальные.
Теорема Пифагора работает только с прямым углом. Теорема косинусов расширяет ее на любой угол и связывает три стороны с одним углом. Теорема синусов говорит, что сторона тем длиннее, чем больше угол напротив нее. Вместе они позволяют найти расстояние до точки, куда нельзя дойти: на другом берегу реки или на другом борту карьера. Достаточно измерить одну линию и два угла.
ⓘ Вершина A всегда в начале, сторона AB лежит на базе. При перетаскивании пересчитываются три стороны, а ползунки показывают известные элементы выбранного режима. Масштаб подстраивается так, чтобы треугольник помещался в поле.
Теорема косинусов нужна, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны. Теорема синусов нужна, когда известны сторона и углы. Сумма углов и площадь замыкают расчет. Под каждой формулой числа из опыта.
Как найти третью сторону по двум и углу между ними?
Это теорема Пифагора с поправкой на угол. При γ = 90° косинус равен нулю, и остается a² + b². Тупой угол дает cos γ < 0, и сторона c выходит длиннее.
Как связаны стороны и противолежащие углы?
Каждая сторона, деленная на синус угла напротив нее, дает одно и то же число. Это число равно диаметру окружности, которая проходит через все три вершины.
Как найти последний угол и площадь?
Два угла известны, третий добираем до 180°. Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: b · sin γ это высота, опущенная на сторону a.
Опустим из вершины C высоту h на сторону c. Треугольник распался на два прямоугольных. В левом h = b · sin α, в правом h = a · sin β. Высота одна, значит b · sin α = a · sin β, то есть a / sin α = b / sin β. Это теорема синусов.
Теперь применим Пифагора к правому прямоугольному треугольнику. Его катеты h и c − b · cos α, гипотенуза a. Раскрываем скобки и заменяем h² + (b · cos α)² на b², потому что это Пифагор для левого треугольника. Получаем a² = b² + c² − 2bc · cos α. Это теорема косинусов.
Координаты точки на недоступном борту карьера или на отвале находят с двух известных пунктов: измеряют углы на точку и решают треугольник по теореме синусов.
Длина гидроцилиндра или троса подъема стрелы зависит от угла стрелы по теореме косинусов. Отсюда находят ход цилиндра и вылет стрелы при любом положении.
В решетчатой ферме длины стержней заданы чертежом. Углы в узлах дает теорема косинусов: по ним режут концы профиля и проектируют косынки.
Ковш погрузчика, тяга рулевой трапеции, шарнирный четырехзвенник. Положение звеньев при повороте рассчитывают по треугольникам с известными длинами.
Линейное напряжение складывается из двух фазных под углом 120°. По теореме косинусов U² = U₁² + U₂² − 2U₁U₂ · cos 120° дает U = √3 · Uф, то есть 380 В из 220 В.
Положение самосвала в системе диспетчеризации находят по расстояниям до спутников или базовых станций. На плоскости это треугольник с известными сторонами.
Треугольник плоский. Для геодезии на расстояниях больше нескольких километров нужно учитывать кривизну Земли. В опыте углы и стороны точные, в реальной засечке у каждого измерения есть ошибка. Чем острее угол γ при дальней точке, тем сильнее ошибка в угле искажает расстояние, поэтому базу AB выбирают так, чтобы угол γ был не меньше 30°. Режим ССС требует, чтобы каждая сторона была меньше суммы двух других: ползунок не даст нарушить это правило.