Одну и ту же точку можно задать как (x, y) или как длину и угол. Тяни точку, смотри обе записи сразу и веди стрелу крана в декартовых, полярных и цилиндрических координатах.
Одну и ту же точку можно описать по-разному. «8 шагов на восток и 6 на север» это декартовы координаты (x, y). «10 шагов под углом 37° от востока» это полярные координаты (r, φ). Точка одна, записи разные, и одну можно перевести в другую. Выбирают ту, в которой задача проще: прямые и прямоугольники удобно описывать через x и y, окружности, повороты и вращение через r и φ.
ⓘ Масштаб по осям одинаковый, поэтому углы на плоскости настоящие. Угол φ выводится в пределах от −180° до 180°, как его дает функция atan2. Кран нарисован в изометрии: вертикаль остается вертикалью, оси x и y идут под 30° к горизонту.
Перевод держится на одном прямоугольном треугольнике: r гипотенуза, x и y катеты, φ угол при начале координат. Под каждой формулой числа из опыта.
Где окажется точка, если знать расстояние и угол?
Косинус показывает, какая доля длины r приходится на ось x, синус какая на ось y. Знаки косинуса и синуса сами дают нужную четверть.
Как найти расстояние и угол по x и y?
Расстояние это гипотенуза по теореме Пифагора. Угол дает функция atan2: она смотрит на знаки x и y по отдельности и поэтому не путает четверти.
Как описать положение в пространстве вокруг оси?
Цилиндрические координаты это полярные на плане плюс высота. Подходят для всего, что вращается вокруг вертикальной оси: кран, поворотная платформа экскаватора, токарная заготовка.
Опустим из точки P перпендикуляр на ось x. Получился прямоугольный треугольник: гипотенуза r, угол при начале координат φ, прилежащий катет x, противолежащий катет y. По определению косинуса и синуса x / r = cos φ и y / r = sin φ. Отсюда x = r · cos φ, y = r · sin φ.
Обратно: по теореме Пифагора r² = x² + y². Угол находим по отношению катетов tg φ = y / x. Но y / x одинаково для точек (3; 4) и (−3; −4), а они смотрят в противоположные стороны. Поэтому в программах и калькуляторах станков угол считают функцией atan2(y, x): она учитывает знаки и возвращает угол в нужной четверти.
В программе для фрезера точки задают в x и y, а дуги и отверстия по окружности удобнее в полярных координатах. Стойка ЧПУ переводит их сама, но наладчик должен понимать, что получится.
Башенный и автомобильный кран работают в цилиндрических координатах: поворот, вылет, высота. Ограничитель грузоподъемности следит за вылетом r, потому что от него зависит опрокидывающий момент.
Тахеометр меряет расстояние и угол до точки, то есть полярные координаты. Чтобы нанести точку на план карьера, их переводят в x и y местной системы.
Поворотная платформа задает угол φ, стрела и рукоять вылет и высоту ковша. Системы 3D-нивелирования пересчитывают положение ковша в координаты проекта, чтобы копать точно по отметке.
Напряжение и ток записывают как длину и фазовый угол, то есть в полярной форме. Для сложения их переводят в проекции на оси, а затем обратно в амплитуду и фазу.
Дисбаланс ротора вентилятора или карданного вала задают массой и углом установки груза. Прибор показывает вектор вибрации в полярных координатах, а грузы раскладывают по осям.
Начало координат совмещено с центром вращения, а угол отсчитывается от оси x против часовой стрелки, как принято в математике. В геодезии азимут считают от севера по часовой стрелке, а в станках ЧПУ начало координат ставят в удобную точку детали, поэтому перед расчетом всегда проверяй, откуда и в какую сторону отсчитан угол. Кран в опыте не учитывает прогиб стрелы и раскачивание груза.