bilim.techО проекте

Фермы: какие стержни растянуты, а какие сжаты

Какие стержни моста тянут, а какие давят? Рассчитай ферму узел за узлом и увидь усилия цветом.

01 Что это такое

Ферма держит груз стержнями, каждый из которых только тянут или только сжимают.

Ферма это решетка из прямых стержней, соединенных в узлах шарнирами. Нагрузку прикладывают только в узлах. Тогда стержень не гнется, он работает как канат или как стойка: либо растянут, либо сжат. Сталь так и любит работать, поэтому ферма перекрывает десятки метров при малом весе.

Чтобы найти усилия, вырежи узел и посмотри на силы, которые на него действуют. Узел стоит на месте, значит сумма сил по горизонтали и по вертикали равна нулю, как у тела в равновесии из темы 2.2. Два уравнения на узел, и узел за узлом находятся все стержни.

P = 10 кН5 кН5 кНсжатсжатрастянутACФерма целикомα = 30°, стержни соединены шарнирамиP = 10N = 10N = 10Узел Cстрелки давят на узелR = 5N = 10T = 8,66Узел Aзатяжка тянет узел к себе
Оранжевые стержни сжаты, зеленая затяжка растянута. Справа узлы вырезаны: на каждый действуют силы от стержней и внешние силы, и в сумме они дают ноль. Числа в кН.
N
Усилие в стержне, кН. Плюс: стержень растянут, тянет узлы к себе. Минус: сжат, отталкивает узлы.
m, j
Число стержней и узлов. У правильной фермы m = 2j − 3: стержней ровно столько, сколько нужно, без лишних.
h
Высота фермы, м. Расстояние между верхним и нижним поясом. Чем выше ферма, тем меньше усилия в поясах.
02 Опыт
Нагрузи ферму. Найди, кто тянет, а кто давит. РАСЧЕТ МЕТОДОМ УЗЛОВ
СТАТИКА

Какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты?

Рис. 2.4
растянут сжат нулевой стерженьтолщина ~ усилие
ГОТОВЫЕ СЛУЧАИ

Самое большое растяжение
Самое большое сжатие
Стержни и узлы, m = 2j − 3

ⓘ Стержни невесомые и абсолютно жесткие, узлы идеальные шарниры, нагрузка только в узлах верхнего пояса. Сила между узлами делится на два соседних узла по правилу рычага, как через балку настила. Левая опора неподвижный шарнир, правая подвижная. Потерю устойчивости сжатых стержней модель не проверяет.

03 Формулы по буквам

Узел за узлом, или одним разрезом

Первая формула главная: равновесие вырезанного узла. Вторая проверяет, можно ли вообще посчитать ферму этими уравнениями и не сложится ли она. Третья дает усилие в поясе сразу, без обхода всех узлов: разрежь ферму и возьми моменты. Числа под формулами из опыта, они меняются вместе с ним.

Как найти усилия в стержнях узла?

ΣFx = 0
ΣFy = 0

Сумма проекций всех сил на узел по горизонтали равна нулю, и по вертикали тоже ноль. Силы на узел: усилия стержней, внешняя нагрузка и реакция опоры, если узел опорный. Два уравнения дают два неизвестных усилия, поэтому начинай с узла, где неизвестных не больше двух.

Fx, Fy
проекции силы на оси, кН. Для стержня под углом α: N · cos α и N · sin α
N
усилие в стержне, кН. Считаем растяжение плюсом, тогда сжатый стержень получит минус сам
нулевой стержень
если в ненагруженном узле сходятся три стержня и два на одной прямой, третий не работает

Хватает ли стержней, чтобы ферма не сложилась?

m = 2j − 3

Каждый узел дает два уравнения, всего 2j. Неизвестные: m усилий и 3 реакции опор. Когда m + 3 = 2j, уравнений ровно столько, сколько неизвестных. Меньше стержней: ферма изменяема, это механизм. Больше: лишние стержни, и одних уравнений равновесия мало.

m
число стержней
j
число узлов, включая опорные
3
реакции опор: у шарнира две, у катка одна
треугольник
самая простая неизменяемая фигура: 3 стержня, 3 узла, 3 = 2 · 3 − 3

Какое усилие в поясе, если разрезать ферму?

Nпояса = M / h

Разрежь ферму через панель и возьми моменты всех сил слева от разреза относительно узла K, где сходятся два других разрезанных стержня. Их моменты равны нулю, и в уравнении остается один пояс. Нижний пояс растянут: N = M / h, верхний сжат: N = −M / h. Это метод сечений, или способ Риттера.

M
изгибающий момент балки того же пролета в точке K, кН · м
h
плечо пояса относительно точки K, у параллельных поясов это высота фермы, м
K
точка Риттера: узел, где пересекаются два других разрезанных стержня

Откуда берутся формулы: вырежем опорный узел

Возьми ферму из блока 01. Опоры держат силу P поровну, реакция R = P / 2 = 5 кН. Вырежи опорный узел A. На него действуют три силы: реакция R вверх, сжатый стропильный стержень давит вдоль себя вниз и влево, растянутая затяжка тянет вправо.

Спроецируй на вертикаль: R − N · sin α = 0, отсюда N = R / sin α = 5 / 0,5 = 10 кН. Затяжка горизонтальна, в это уравнение не попадает. Спроецируй на горизонталь: T − N · cos α = 0, отсюда T = 10 · 0,866 = 8,66 кН. Три силы в равновесии, поэтому их стрелки, приставленные друг к другу, замыкают треугольник.

Так считают любую ферму: два уравнения на узел, j узлов, всего 2j уравнений на m + 3 неизвестных. Отсюда m = 2j − 3. Чем площе ферма, тем меньше sin α, и тем больше усилия: при α = 10° стропила сжаты уже силой 29 кН. Метод сечений говорит то же самое для длинной фермы: усилие в поясе M / h растет, когда высота h уменьшается.

αRN, сжатиеT, растяжениеARNTсилы замыкаюттреугольникΣFy: R − N · sin α = 0ΣFx: T − N · cos α = 0
Опорный узел A фермы из блока 01. Узел в равновесии, поэтому стрелки R, N и T образуют замкнутый треугольник.
04 Где и зачем это применяют

От моста через реку до копра над шахтным стволом

Допущения модели+

Стержни прямые и невесомые, узлы считаются идеальными шарнирами, хотя в настоящей ферме их сваривают или скрепляют фасонками на болтах. Это допущение работает хорошо: моменты в узлах дают малые добавки к усилиям. Нагрузка приложена только в узлах верхнего пояса и направлена вниз. Сжатый стержень в жизни может потерять устойчивость и выпучиться раньше, чем сталь потечет, эту проверку модель не делает. Числа в готовых случаях примерные: мост пролетом 24 м под нагрузкой около 25 кН на метр, самосвал около 30 т на одну ферму.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →