Сколько независимых движений нужно задать механизму, чтобы он работал однозначно? Звенья, кинематические пары и формула Чебышева.
Звено это деталь или жестко скрепленная группа деталей: кривошип, шатун, поршень, стрела экскаватора. Одно звено неподвижно, это стойка (корпус, рама). Звенья соединены кинематическими парами. Шарнир (вращательная пара В) оставляет только поворот, ползун в направляющей (поступательная пара П) только сдвиг. Обе пары пятого класса: каждая отнимает две свободы из трех. Касание зубьев или кулачка с толкателем это высшая пара четвертого класса: она отнимает одну свободу.
Свободное звено на плоскости имеет три свободы: сдвиг по x, сдвиг по y и поворот. Сложи свободы всех подвижных звеньев и вычти то, что отняли пары: получишь W. Шарнирный четырехзвенник дает W = 1, ему хватает одного двигателя. Пятизвенник дает W = 2, с одним двигателем он болтается. Треугольник дает W = 0: это уже не механизм, а ферма.
ⓘ Все схемы плоские: звенья движутся в одной плоскости, шарниры идеальные, без зазоров. Номера звеньев и подписи пар строятся по тому же списку, по которому считается W, поэтому число на рисунке всегда совпадает со схемой. Стойка обозначена штриховкой и номером 0. Размеры звеньев примерные: кривошип четырехзвенника 70 мм, шатун 220 мм; у экскаватора стрела 5,7 м, рукоять 2,9 м. Ковш присоединен к цилиндру напрямую, без тяги и коромысла, которые стоят на настоящих машинах.
Во всех карточках числа из опыта. Переключай схемы и добавляй звенья: числа пересчитываются сами.
Сколько подвижностей у плоского механизма?
Каждое подвижное звено приносит три свободы, каждая низшая пара отнимает две, каждая высшая одну. Остаток и есть подвижность. Формулу вывел П. Л. Чебышев в 1869 году.
А если звенья движутся в пространстве?
В пространстве у тела шесть свобод: три сдвига и три поворота. Пара класса k отнимает k свобод: шарнир пятого класса отнимает пять, шаровой шарнир (класс 3) три. Это формула Сомова-Малышева, по ней считают роботы, подвески и пространственные механизмы.
Что означает число W?
W показывает, сколько независимых движений надо задать снаружи, чтобы положение всех звеньев было определено. Приводов меньше: звенья болтаются. Больше: двигатели мешают друг другу и механизм заклинивает. W = 0 значит ферма, W < 0 ферма с лишними связями.
Положи на стол линейку. Чтобы описать, где она лежит, хватит трех чисел: координаты x и y ее середины и угол поворота. Значит, у свободного звена на плоскости три свободы. У n отдельных звеньев их 3n.
Теперь соединим звенья. Шарнир требует, чтобы две точки разных звеньев совпадали: это два условия, по x и по y. Поворот остается. Ползун требует, чтобы звено не поворачивалось относительно направляющей и не уходило поперек нее: снова два условия, остается сдвиг. Высшая пара требует только касания: одно условие, остаются качение и скольжение. Вычтем все условия из 3n и получим W = 3n − 2p₅ − p₄.
Стойка не входит в n: она неподвижна, ее свободы равны нулю с самого начала. Шарнир, где сходятся три звена, это две пары: третье звено надо отдельно прикрепить к одному из двух первых. Формула иногда ошибается: если звенья расположены особым образом (например, параллелограмм с лишним параллельным звеном), лишняя связь повторяет существующую, и механизм движется вопреки W = 0.
У рабочего оборудования экскаватора три подвижности: стрела, рукоять, ковш. Поэтому на нем три группы цилиндров и три рукоятки у оператора. Поворот платформы добавляет четвертую. Если клапан цилиндра течет, его подвижность остается без хозяина: стрела или ковш медленно оседают под весом.
Кривошипно-ползунный механизм (коленвал, шатун, поршень) имеет W = 1: угол коленвала однозначно задает положение поршня. Поэтому в многоцилиндровом двигателе все поршни работают от одного вала, а поршневой компрессор крутит один электродвигатель.
Двухрычажная подвеска в поперечной плоскости это четырехзвенник: кузов, верхний рычаг, нижний рычаг, поворотный кулак. W = 1: колесо ходит вверх и вниз по одной кривой, а пружина и амортизатор задают, где оно остановится. Длины рычагов подбирают, чтобы колесо почти не меняло развал.
Число осей робота это его подвижность. Чтобы поставить инструмент в любую точку с любым наклоном, нужно 6 подвижностей: по формуле Сомова-Малышева шесть шарниров пятого класса дают W = 6 · 6 − 5 · 6 = 6. У каждой оси свой серводвигатель. Седьмая ось дает запас, чтобы обходить препятствия.
Ферма моста, стрела крана, опора ЛЭП собраны из треугольников: у каждого W = 0, поэтому вся ферма неподвижна при шарнирных узлах. Если W > 0, ферма складывается. Если W < 0, в ней есть лишние стержни: прочность выше, но перепад температур и неточность сборки нагружают стержни без всякой нагрузки.
Если плоский механизм посчитать как пространственный, формула дает меньше, чем на деле: разница это избыточные связи. Их держит только точность: оси шарниров должны быть строго параллельны. При перекосе рамы шарниры заклинивает, втулки и пальцы быстро изнашиваются. Поэтому в цилиндрах ставят шарнирные подшипники: они снимают лишние связи.
Все механизмы плоские: звенья жесткие, шарниры и ползуны без зазоров и трения. Формула Чебышева считает только связи, а не силы, поэтому «заклинило» здесь значит, что двигатель не может сдвинуть звенья, не сломав их. Пятизвенник с одним двигателем на самом деле занимает положение, которое задают сила тяжести, трение и толчки: на рисунке это показано случайным покачиванием звена 4. Запертый цилиндр (закрыты оба клапана, масло несжимаемо) считается одним жестким звеном. Ковш присоединен к штоку напрямую, без тяги и коромысла, и поворот платформы не учтен: на настоящем экскаваторе это прибавляет два звена с тремя парами (W не меняется) и еще одну подвижность. Размеры звеньев примерные.