Мастерская механизмов

Собери механизм сам из звеньев, шарниров, ползунов, пружин и двигателя. Он оживет сразу: подвижность, траектории, скорости и силы считаются на ходу.

01 Что это такое

Механизм это звенья, соединенные шарнирами так, что один двигатель задает движение всех.

Звено это жесткая деталь: стержень, рычаг, ползун. Звенья соединяются кинематическими парами. Шарнир позволяет только поворот, ползун на направляющей только сдвиг: каждая такая низшая пара p₅ отнимает у звена две из трех степеней свободы на плоскости. Неподвижное звено называют стойкой, к нему крепят все остальное.

Сколько двигателей нужно конструкции, говорит число W: подвижность по формуле Чебышева. При W = 1 хватает одного двигателя, и каждому его углу соответствует одно положение всех звеньев. При W = 0 конструкция неподвижна: это ферма. В мастерской ты собираешь все это сам из стоек, звеньев, ползунов и пружин, и мастерская сразу считает W, движение, скорости и усилия.

Слева механизм: один двигатель на кривошипе однозначно задает положение шатуна и коромысла. Справа два стержня на двух стойках: W = 0, конструкция держит груз и не движется.

n: Число подвижных звеньев. Стержни, рычаги и ползуны, кроме стойки. Свободное звено на плоскости имеет три степени свободы: два сдвига и поворот.
p₅: Число низших пар. Шарниры и ползуны. Если в шарнире сходятся k звеньев, это k − 1 пар. Каждая пара отнимает две степени свободы.
W: Подвижность. Сколько независимых движений у конструкции, а значит, сколько нужно двигателей. W = 0 ферма, W < 0 лишние связи.

02 Лаборатория

Ставь стойки, тяни звенья, сажай двигатель. Смотри, как механизм оживет. ЛАБОРАТОРИЯ

ЛАБОРАТОРИЯ

Будет ли твоя конструкция двигаться, и как?

Лаб.

ПРИМЕРЫ

Подвижность

Скорость точки следа

Момент двигателя

Журнал конструкций: 0

ⓘ Клетка сетки 50 мм. Звенья абсолютно жесткие, шарниры без зазоров и трения, массы звеньев не учитываются: момент двигателя посчитан от грузов и пружин без инерции. Усилия в фермах для стальных труб сечением 300 мм². Журнал, последняя конструкция и выполненные задания сохраняются в этом браузере.

03 Формулы по буквам

Как мастерская понимает, что ты собрал

Сначала она считает подвижность W, потом решает уравнения замкнутых контуров для каждого угла двигателя, а по ним находит скорости точек. Числа под формулами из твоей конструкции.

Сколько двигателей нужно конструкции?

W = 3n − 2p₅ − p₄

Каждое подвижное звено на плоскости имеет три степени свободы. Каждый шарнир или ползун отнимает две, каждая высшая пара (кулачок, зубья) одну. Что осталось, то и есть W: столько двигателей нужно, чтобы движение было однозначным.

n: подвижные звенья: стержни и ползуны, без стойки
p₅: низшие пары: шарниры и ползуны; в шарнире, где сходятся k звеньев, k − 1 пар
p₄: высшие пары: кулачок, зацепление зубьев. В мастерской их нет, p₄ = 0
W: подвижность: 1 механизм с одним двигателем, 0 ферма, меньше нуля лишние связи

Где окажутся звенья при данном угле двигателя?

Σ l_i cos φ_i = 0
Σ l_i sin φ_i = 0

Обойди замкнутый контур по звеньям от стойки до стойки: векторы звеньев должны сложиться в ноль. Это два уравнения на каждый контур. Угол двигателя известен, остальные углы находятся из этих уравнений.

l_i: длина звена или расстояние между стойками, мм
φ_i: угол звена от горизонтали, против часовой стрелки
нет решения: звенья не дотягиваются друг до друга: механизм упирается, это крайнее положение

С какой скоростью движется точка шатуна?

v = ω · PC

В каждый миг звено как будто поворачивается вокруг одной точки P, мгновенного центра скоростей. Скорость любой его точки C равна угловой скорости звена, умноженной на расстояние до P, и направлена поперек отрезка PC.

ω: угловая скорость звена, рад/с; у кривошипа ω = π n / 30
P: МЦС: пересечение перпендикуляров к скоростям двух точек звена
PC: расстояние от МЦС до точки, м

Откуда берется формула Чебышева

Положение свободного звена на плоскости задают три числа: две координаты одной его точки и угол поворота. У n звеньев 3n таких чисел. Шарнир требует, чтобы две точки разных звеньев совпадали: это два уравнения, x одинаковы и y одинаковы. Ползун требует, чтобы звено не поворачивалось относительно направляющей и не сходило с нее: снова два уравнения. Каждое уравнение связи убирает одно независимое число, поэтому W = 3n − 2p₅ − p₄.

Мастерская считает и по-другому, численно. Она записывает все связи как уравнения: длина каждого звена постоянна, ползун лежит на прямой, двигатель задает угол. Ранг матрицы производных этих уравнений (матрицы Якоби) показывает, сколько из них действительно независимы. Если меньше, чем дает формула, есть пассивные связи: например, средний стержень в параллелограмме.

Положения звеньев при каждом угле двигателя находятся методом Ньютона-Рафсона: начинаем с прошлого положения и поправляем точки, пока все уравнения не выполнятся. Скорости получаются из тех же уравнений, продифференцированных по времени, а момент двигателя из равенства мощностей M · ω + Σ F · v = 0, как в теме 3.3. Усилия в стержнях фермы находятся из равновесия узлов, как в теме 2.4.

Деталь	Что меняет в W
звено-стержень	+3 (два сдвига и поворот)
шарнир между двумя звеньями	−2
шарнир на стойке	−2
ползун на направляющей	+3 за тело ползуна, −2 за шарнир, −2 за направляющую
высшая пара: кулачок, зубья	−1
пружина	0: она не держит форму
двигатель	задает одну степень свободы

Четырехзвенник: 3 звена дают 9, 4 шарнира отнимают 8, остается W = 1. Треугольник фермы на двух стойках: 6 − 6 = 0.

04 Где и зачем это применяют

От эскиза механизма до стрелы экскаватора

Проектирование механизмов
Конструктор начинает со схемы из стержней и шарниров, как в мастерской. Он подбирает длины звеньев, чтобы рабочая точка прошла нужный путь, а звено проворачивалось без упоров. Это называют синтезом механизма.
Кинематика в CAD
Программы проектирования считают движение сборки так же: связи между деталями записывают уравнениями и решают методом Ньютона на каждом шаге. Если сборка «не собирается» или «заклинивает», программа сообщает о несовместных или лишних связях.
Стрелы и манипуляторы
Стрела экскаватора с ковшом имеет три подвижности, поэтому у нее три гидроцилиндра: стрелы, рукояти и ковша. Плоский манипулятор с двумя двигателями это пятизвенник: два двигателя вместе ставят захват в любую точку рабочей зоны.
Подвески машин
Подвеска колеса карьерного самосвала это механизм с W = 1: рычаги задают, по какой линии ходит колесо, а цилиндр подвески работает как пружина. Если подвижностей больше, колесо будет болтаться, если меньше, подвеска станет жесткой.
Дробилки и грохоты
Подвижную щеку щековой дробилки качает кривошипно-коромысловый механизм: эксцентриковый вал служит кривошипом, распорная плита коромыслом. Ход щеки внизу задает крупность дробленого продукта.
Фермы и рамы
Стрелы кранов, мачты, конвейерные галереи собирают из треугольников, чтобы конструкция имела W = 0 и не складывалась. Лишние стержни ставят сознательно: если один сломается, ферма все равно устоит, но усилия тогда считают с учетом жесткости.

Допущения модели+

Механизм плоский, все звенья лежат в одной плоскости и абсолютно жесткие. Шарниры и ползуны без зазоров и трения, звенья не мешают друг другу, даже если пересекаются на рисунке. Узлы ставятся только в узлы сетки с шагом 50 мм. Подвижность считается и по формуле Чебышева, и численно, по рангу матрицы Якоби связей в начальном положении; в особых положениях (звенья вытянуты в линию) численный ранг может падать. Двигатели в механизме с двумя приводами вращаются с одной скоростью в одну сторону.

Положения находятся методом Ньютона-Рафсона с шагом угла 2°, крайние положения уточняются до 0,2°. Момент двигателя посчитан для медленного движения: без масс звеньев, сил инерции и трения, только от грузов и пружин. Усилия в фермах посчитаны методом перемещений для одинаковых стальных труб сечением 300 мм² и в W = 0 совпадают с равновесием узлов. Устойчивость сжатых стержней и прочность шарниров не проверяются. Это учебная модель: для проекта механизма нужен расчет с массами, трением и запасами прочности.

Еще в направлении «Механика»

Все темы направления «Механика» →