Почему в узком месте трубы вода бежит быстрее, а давление падает? Уравнение Бернулли, расходомер Вентури и потери напора.
Вода почти не сжимается. Каждую секунду через любое сечение трубы проходит один и тот же объем: это расход Q = v · A. Сузь трубу вдвое по диаметру, и площадь станет вчетверо меньше, а скорость вчетверо больше. Это уравнение неразрывности.
Чтобы разогнать воду перед сужением, ее должно что-то толкать. Толкает разница давлений: сзади давление больше, впереди меньше. Даниил Бернулли записал это как закон сохранения энергии для каждого кубометра жидкости: давление, скоростной напор и высота вместе дают постоянную сумму. Где скорость растет, давление падает. Поставь над трубой прозрачные трубки, и вода в них покажет давление: над узким местом ее уровень ниже.
ⓘ Жидкость несжимаемая, течение установившееся, скорость в сечении считается одинаковой по всему сечению (средняя). Атмосферное давление 101,3 кПа, давление p на рисунке избыточное, как у манометра. Диаметры и длины на рисунке не в масштабе, а высоты и напоры в одном масштабе. Потери: трение по Дарси с шероховатостью стальной трубы 0,1 мм, плавное сужение и коническое расширение. Ниже давления пара жидкость кипит, и давление дальше не опускается; что творится в потоке после кавитации, модель описывает только примерно. Числа в готовых случаях примерные.
Все три карточки берут числа из опыта. Двигай ползунки или выбери готовый случай, и подстановка пересчитается. В режиме бака карточки показывают истечение.
Как быстро течет жидкость в каждом сечении?
Расход во всех сечениях один и тот же, ведь жидкость не сжимается и не копится в трубе. Значит, скорость обратно пропорциональна площади: где труба уже, там жидкость быстрее.
Куда девается давление?
Каждое слагаемое это энергия одного кубометра жидкости: работа давления, кинетическая энергия, потенциальная энергия. Их сумма вдоль трубы не меняется, только часть уходит в тепло на трение. Раздели все на ρg, и получишь напоры в метрах: p/(ρg) + v²/(2g) + z = H.
Как узнать скорость и расход по давлению?
Первая формула Торричелли: вода вытекает из бака с высоты h с той же скоростью, что падающий камень. Вторая формула расходомера Вентури: измерь перепад давления между широким сечением и горлом, и получишь расход. Расход растет как корень из перепада.
Выдели в трубе порцию жидкости между сечениями 1 и 2. За короткое время Δt она сдвинется: левая граница пройдет v1Δt, правая v2Δt. По неразрывности слева ушел и справа пришел один и тот же объем ΔV = A1v1Δt = A2v2Δt. Середина порции осталась на месте и такой же, как была. Изменилось только одно: кусочек ΔV как будто перенесли из сечения 1 в сечение 2.
Кто сделал работу? Жидкость сзади толкает порцию силой p1A1 на пути v1Δt: работа p1ΔV. Жидкость впереди упирается силой p2A2: работа −p2ΔV. По теореме об энергии из темы 3.3 сумма работ равна изменению энергии кусочка массой ρΔV: (p1 − p2)ΔV = ρΔV(v2² − v1²)/2 + ρΔVg(z2 − z1).
Сократи ΔV и перенеси все про сечение 1 влево, про сечение 2 вправо. Получится p1 + ρv1²/2 + ρgz1 = p2 + ρv2²/2 + ρgz2. Если по дороге трение превратило часть энергии в тепло, справа добавляется Δpпот. А закон Паскаля из темы 8.1 оказывается частным случаем: при v = 0 остается p + ρgz = const, то есть давление растет с глубиной.
В трубу ставят сужение и меряют перепад давления до него и в горле. Расход Q считают по корню из перепада. Диафрагма (шайба с отверстием) дешевле, но теряет больше напора. Так меряют расход воды на обогатительной фабрике, воздуха в компрессорной и газа в котельной.
Быстрая струя в горле создает разрежение и подсасывает другую жидкость или газ через боковой патрубок. Так работают водоструйный насос, пескоструйный аппарат, пульверизатор и карбюратор старого двигателя. Тот же эффект в упрощенном виде объясняет подъемную силу крыла: сверху поток быстрее, давление ниже.
На входе в рабочее колесо скорость велика, давление падает. Если оно ниже давления пара, вода вскипает, а пузырьки схлопываются на лопатках и выбивают металл: крыльчатка становится как губка. Поэтому насосу нужен подпор на входе (NPSH). На высоте 4000 м атмосферное давление около 62 кПа вместо 101, и насосы кавитируют заметно легче.
Насадок на конце рукава переводит давление в скорость: при 0,4 МПа струя летит 25 - 28 м/с. Гидромонитор размывает породу струей при давлении 1 - 2 МПа, а водометы пылеподавления на карьере достают на десятки метров. Чем плавнее сужение, тем меньше потерь в насадке.
Насос на дне карьера поднимает воду по трубопроводу на борт. Его напор должен покрыть высоту подъема и потери на трение, а скоростной напор при 2 м/с всего 0,2 м. По линии напоров подбирают насос, толщину стенки трубы внизу (там давление наибольшее) и место промежуточной перекачки.
В форсунке дизеля давление 150 - 200 МПа за доли миллисекунды разгоняет топливо до сотен метров в секунду, и оно распыляется в туман. В гидросистеме экскаватора тот же Бернулли объясняет нагрев масла: давление, сброшенное на дросселе или клапане, превращается в скорость, а потом в тепло.
Жидкость несжимаемая, течение установившееся (расход не меняется во времени), скорость в каждом сечении средняя и одинаковая по сечению; поправка Кориолиса на неравномерность скоростей принята равной 1. Плотность воды 1000 кг/м³, вязкость 1·10⁻⁶ м²/с; масло гидравлическое при 40 °C: 870 кг/м³ и 46·10⁻⁶ м²/с. Потери на трение по формуле Дарси: λ = 64/Re при ламинарном течении (Re < 2300), по формуле Свами и Джейна при турбулентном, между ними плавный переход; шероховатость 0,1 мм. Плавное сужение теряет 0,1(1 − A₂/A₁) скоростного напора узкого сечения, конический диффузор четверть потерь внезапного расширения. Порог кавитации для воды 2,3 кПа абсолютного давления (пар при 20 °C), для масла взят около 10 кПа: раньше пара из масла выделяется растворенный воздух. Атмосферное давление 101,3 кПа. После начала кавитации давление в зоне пара держится на пороге, а дальнейший расчет условен. Бак: уровень над отверстием h, отверстие в стенке на высоте 1 м над землей; с потерями острая кромка дает φ = 0,97, ε = 0,64, μ = 0,62. Числа в готовых случаях примерные.