Как компьютер находит самое нагруженное место детали? Дели стержень и пластину с отверстием на элементы, сгущай сетку и смотри, как расчет сходится к ответу.
Для бруска постоянного сечения напряжение легко посчитать формулой: сила делить на площадь. Но у кронштейна есть отверстия, скругления и переходы толщины, и формулы для него нет. Тогда деталь покрывают сеткой из треугольников или четырехугольников. Внутри маленького элемента деформацию можно считать простой, например постоянной. Соседние элементы связаны общими узлами. Получается система из сотен или миллионов линейных уравнений, и компьютер ее решает. Чем мельче сетка, тем ближе ответ к правде, но тем дольше счет.
Каждый конечный элемент стержня ведет себя как пружина. Из пружин собирают систему уравнений, решают ее и получают перемещения узлов. Числа ниже из опыта. Как растяжение и изгиб считают формулами для простых балок, разобрано в теме «Балка и прочность».
Насколько жесткий один элемент?
Это закон Гука для бруса. Чем больше площадь и жестче материал, тем труднее растянуть. Чем длиннее элемент, тем легче.
Как найти перемещения всех узлов?
Матрицу жесткости K собирают из маленьких матриц элементов: каждый элемент добавляет k туда, где встречаются его узлы. Узлы с закреплением вычеркивают. Остается система линейных уравнений, ее решает компьютер.
Во сколько раз отверстие поднимает напряжение?
У маленького круглого отверстия в широкой пластине Kt = 3: металл огибает отверстие, и у его краев напряжение втрое больше. Трещины усталости почти всегда начинаются именно там.
Возьмем стержень из двух элементов и три узла: 0, 1, 2. Узел 0 закреплен в стене. Элемент 1 соединяет узлы 0 и 1, его растяжение u₁ − u₀ = u₁, сила в нем k₁·u₁. Элемент 2 соединяет узлы 1 и 2, сила в нем k₂·(u₂ − u₁).
Теперь условие равновесия каждого свободного узла: сумма сил равна нулю. На узел 1 тянут оба элемента, на узел 2 только второй и внешняя сила F. Получаем два уравнения, а в матричной записи как на рисунке. На диагонали стоит сумма жесткостей элементов, сходящихся в узле, рядом минус жесткость общего элемента.
Для пластины все так же, только у каждого узла два перемещения (по x и по y), а элемент треугольный. Матрица получается большой, но почти пустой, и для нее есть быстрые методы решения.
Завод проверяет раму расчетом еще до первой сварки: где пик напряжения при езде по разбитой дороге с полным кузовом. Трещины в эксплуатации появляются ровно в тех местах, которые расчет закрасил красным.
Проушины под пальцы это отверстия, у которых Kt около 3. Их усиливают накладками и скругляют переходы, а при ремонте расчетом проверяют, выдержит ли наплавка или усиливающая пластина.
В конце трещины сверлят отверстие, чтобы она не росла дальше. Острый кончик трещины дает огромную концентрацию, а круглое отверстие снижает ее до трех.
Считают, как удар крупного куска руды при погрузке расходится по днищу кузова и где поставить ребра, чтобы лист не продавило.
Тот же метод считает нагрев тормозных дисков, поток масла в гидроблоке, магнитное поле в электродвигателе и колебания конструкций.
Каркасы цехов, опоры конвейерных галерей, мосты и плотины проектируют с проверкой методом конечных элементов. Программы для этого есть в каждом конструкторском бюро.
Материал упругий и одинаковый во всех направлениях: сталь, E = 210 000 МПа, коэффициент Пуассона 0,3. Стержень считается простейшими элементами с постоянным напряжением, площадь берется в середине элемента. Пластина плоская, тонкая (плоское напряженное состояние), ширина W, длина вдвое больше; считается четверть благодаря симметрии. Элементы треугольные с постоянной деформацией, поэтому пик напряжения берется по центру элемента у края отверстия, и он чуть занижен. Справочное значение Kt по формуле Хейвуда Kt = (2 + (1 − d/W)³) / (1 − d/W) отнесено к напряжению в полном сечении. В настоящих расчетах берут элементы точнее, учитывают пластичность и контакт, а сетку сгущают только в опасных местах.